II.1 Interaction gravitationnelle Forces et champs

II Étude de quelques interactions
II.1 Interaction gravitationnelle

Pour expliquer le mouvement des planètes, Newton fut conduit à admettre l’existence d’une force qui est l’attraction de la matière par la matière appelée force gravitationnelle, elle est définie par la loi qui porte son nom.

II.1.1 Loi de Newton ou loi d’attraction universelle

Énoncé: Deux corps ponctuels A et B, de masses m_A et m_B exercent l’un sur l’autre des forces d’attraction directement opposées, dirigées suivant la droite (AB), d’intensités proportionnelles à leurs masses et inversement proportionnelles au carré de leur distance.

L’expression vectorielle de cette loi est la suivante : \[{\overrightarrow F _{A/B}} = - G\frac{{{m_A}{m_B}}}{{A{B^2}}}{\overrightarrow u _{AB}}\] avec \({\overrightarrow u _{AB}} = \frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}}\), Le vecteur unitaire associée à la droite (AB).   Le coefficient de proportionnalité G=6,67 10^-11 N.m².kg^-2 est appelé la constance de gravitation universelle.
Ainsi tout corps de masse quelconque placé en un lieu perturbe (modifie les propriétés ) son voisinage et crée un champ appelé champ de gravitation.

II.1.2 Champ de gravitation

C’est la propriété de tout espace à l’intérieur duquel tout corps de masse quelconque est soumis à une force gravitationnelle.
Il est caractérisé en tout point A de l’espace par le vecteur champ gravitationnel noté : \(\overrightarrow g (A)\)

 II.1.2.1 Expression du champ de gravitation crée par une masse ponctuelle

Si nous plaçons une particule de masse m_A au voisinage d’une particule m_B, alors m_B exercera sur mA une force. \[{\overrightarrow F _{B/A}} = G\frac{{{m_A}{m_B}}}{{A{B^2}}}{\overrightarrow u _{AB}}\]   puisque m_A est dans le voisinage de mB; alors en fonction du champ crée par m_B.\({\overrightarrow F _{B/A}} = {m_A}\overrightarrow g (B)\) En égalant les deux expressions on a: \[\overrightarrow g (B) = G\frac{{{m_B}}}{{A{B^2}}}{\overrightarrow u _{AB}}\]Réciproquement le champ crée par m_A est : \[\overrightarrow g (A) = - G\frac{{{m_A}}}{{A{B^2}}}{\overrightarrow u _{AB}}\].

Les lignes de champ gravitationnel sont toujours orientées vers le centre de gravité de l’objet à l’origine du champ. on dit que le champ est centripète; par opposition à centrifuge. Les cercles concentriques constituent l’ensemble de points d’égale intensités de champ gravitationnel.
Si nous supposons un objet de masse mB situé en un point B au voisinage de la terre de masse m_A =M_T, alors: \[\overrightarrow g (T) = - G\frac{{{M_T}}}{{A{B^2}}}{\overrightarrow u _{AB}}\].   AB est la distance entre le centre de la terre et le point B où le champ est calculé. Dans ce cas, la force \({\overrightarrow F _{A/B}} = \overrightarrow p \) est appelée le poids du corps de masse m_B et \(\overrightarrow g \) est appelé vecteur champ de pesanteur.

II.1.2.2 Variation du champ de pesanteur
Avec l’altitude

L’attraction que la terre exerce sur un corps B placé dans son voisinage décroît avec l’altitude. En effet AB=R_T+z où R_T est le rayon de la terre et z l’altitude de B par rapport à la surface de la terre. \(g(z) = \frac{{G{M_T}}}{{{{({R_T} + z)}^2}}}\)  avec \({g_0} = \frac{{G{M_T}}}{{{R_T}^2}}\) le champ de pesanteur à la surface de la terre , on a: \(g(z) = \frac{{G{M_T}}}{{{{({R_T} + z)}^2}}}\)\( = \frac{{G{M_T}}}{{{R_T}^2{{(1 + \frac{z}{{{R_T}}})}^2}}}\)\( = \frac{{{g_o}}}{{{{(1 + \frac{z}{{{R_T}}})}^2}}}\).

Si \(z \prec \prec {R_T}\) , alors \(\frac{1}{{{{(1 + \frac{z}{{{R_T}}})}^2}}} = \)\({(1 + \frac{z}{{{R_T}}})^{ - 2}} = \)\((1 - 2\frac{z}{{{R_T}}})\)
Soit : \[g = {g_0}(1 - 2\frac{z}{{{R_T}}})\]
Le poids d’un corps diminue alors avec l’altitude suivant la loi : \[p = m{g_o}(1 - \frac{{2z}}{{{R_T}}}) = {p_0}(1 - \frac{{2z}}{{{R_T}}})\]

Avec la latitude
La latitude λ d’un point M est l’angle que fait le rayon de la terre passant par M avec l’équateur.
On montre que: \({g_\lambda } = {g_0}(1 + \mu \sin 2(\lambda )){\rm{ }}\)avec \({{\rm{g}}_{\rm{0}}}{\rm{ = 9,7804m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\) et \(\mu = \frac{{{R_T}\omega }}{{{g_0}}}\)  ω est la vitesse angulaire de la terre.

II.2 Interaction électrique.

Comme la masse d’un corps, toute charge électrique , placée dans un milieu modifie son voisinage et son comportement est régie par la loi de Coulomb.

II.2.1 Loi de coulomb

Énoncé : La force d’attraction ou de répulsion qui s’exerce entre deux particules A et B de charges électriques q_A et q_B; placées à la distance AB l’une de l’autre, est proportionnelle aux charges q_A et q_B et est inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.
L’interaction électrique peut être attractive ou répulsive suivant que les deux charges sont de même signe ou pas.

\[{\overrightarrow F _{B/A}} = - {\overrightarrow F _{A/B}} = k\frac{{{q_A}.{q_B}}}{{A{B^2}}}{\overrightarrow u _{_{AB}}}\] avec \(k = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} = 9 \times {10^9}N.{m^2}{c^{ - 2}}\) où \({\varepsilon _0}\) est appelé la permittivité du vide. \[{F_{A/B}} = {F_{B/A}} = k\frac{{\left| {{q_A}} \right|\left| {{q_B}} \right|}}{{A{B^2}}}\]. q_A et q_B sont exprimes en coulombs (C), AB en mètres (m) et \({F_{A/B}}\) en newtons (N)

II.2.2 Champ électrique

C’est la propriété de toute région de l’espace à l’intérieur duquel toute charge est soumise à la force de Coulomb.
Il est caractérisé en tout point A de l’espace par le vecteur champ électrique noté: \(\overrightarrow E (A)\). On montre également qu’une charge q_A crée en un point B un champ: \[\overrightarrow E (A) = k\frac{{{q_A}}}{{A{B^2}}}{\overrightarrow u _{AB}}\]
C’est un vecteur de caractéristiques;
Point d’application : le point A.
Direction: la droite (AB)
Sens : centrifuge (si q_A >0) centripète (si q_A <0)
Module: \[E(A) = k\frac{{\left| {{q_A}} \right|}}{{A{B^2}}}\]  q_A est en coulombs (C), AB en mètres (m) et E(A) en newton par coulombs (N/C) ou volt par mètres (v/m). Comme la force électrostatique, le champ électrostatique crée par un ensemble de charges en un point M est égale à la superposition (somme) des champs créés par chaque charge en ce point. \[\overrightarrow E = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\overrightarrow E }_n}} = {\overrightarrow E _1} + {\overrightarrow E _2} + {\overrightarrow E _3} + ... + {\overrightarrow E _n}\].

 II.2.3 Champ électrique uniforme

Un champ est dit uniforme en une région de l’espace donnée si le vecteur champ y est constant (direction, sens, module) en tout point. \[{\overrightarrow E _A} = {\overrightarrow E _B} = \overrightarrow {cte} \]. On appelle ligne de champ électrique la courbe orientée en chaque point de laquelle le vecteur champ électrique est tangent.

II 2.3.1 Notion de potentiel électrique

Considérons une charge q>0 placée entre les armatures A et B d’un condensateur. Elle est soumise à la force électrostatique \(\overrightarrow F = q\overrightarrow E \) et se déplace sous l’action de celle-ci.

Le travail de la force \(\overrightarrow F \) noté \({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow F )\) est égal à : \[{W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow F ) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow F = q\overrightarrow {AB} .\overrightarrow E \]
Le facteur \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow E \) est appelé différence de potentiel ( d.d.p ) entre A et B notée V_A-V_B et vaut : \[{V_A} - {V_B} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow E = AB.E\cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow E )\] avec \(\cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow E ) = 1\)

V_A-V_B en volt (V), AB en mètres (m) et E en volt par mètres (V/m)

L’énergie potentielle électrostatique devient dont: \[{W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow F ) = q({V_A} - {V_B}) = q{V_A} - q{V_B}\]