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III. Caractéristiques numériques des variables aléatoires.

La fonction de répartition de la variable aléatoire X peut donner une description complète de X. En pratique, au lieu d’étudier cette fonction de répartition, on fait appel à d'autres caractéristiques numériques qui jouent les mêmes rôles.

III.1 Espérance mathématique.

a) Cas d'une variable aléatoire discrète.

Soient \({x_i}\) les valeurs de X et \({x_i}\) leurs probabilités correspondantes, avec \(i \in {N}\),
On appelle espérance mathématique « expected value en anglais » notée \(E(X)\) de la variable aléatoire discrète X la quantité, si elle existe :

\(E(X) = \sum\limits_{i \in N} {{p_i}{x_i}} \)

Autrement dit \(E(X) = {p_1}{x_1} + \) \({p_2}{x_2} + ... + {p_n}{x_n}\)
Il vient alors que \(E(X)\) représente l'abscisse du centre de gravité d'un système donné de points matériels.
Nous avons montré précédemment que, si \(card\left( \Omega \right) = N\) et \(card\left( A \right) = m\) le cardinal d’un évènement A , alors \(P = \frac{{card\left( A \right)}}{{card\left( \Omega \right)}} = \frac{m}{N}\)
Ainsi \({P_i} = \frac{{{m_i}}}{N}\), appelé fréquence ou encore probabilité statistique de l’évènement \(X = {x_i}\), \({{m_i}}\) le nombre de cas favorables de \(X = {x_i}\), \(N\) le nombre de cas possibles.
En tenant compte de cette notation, l’espérance mathématique prend alors la forme :
\(E(X) = \frac{{{x_1}{m_1}}}{N} + \) \(\frac{{{x_2}{m_2}}}{N} + ... + \frac{{{x_n}{m_n}}}{N}\).

b) Cas d'une variable aléatoire continue

L’expression de \(E(X)\) est donne par la formule \(E(X) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {xf(x)dx} \) le domaine de définition est infini ou \(E(X) = \int_a^b {xf(x)dx} \) dans le cas contraire.

c) Propriétés de l’espérance mathématique d'une variable aléatoire

• L'espérance mathématique d'une constante est égale à cette constante. \(E(X) = cte\)
• L'espérance mathématique d'une somme finie de variables aléatoires \(Xi\) est égale à la somme des espérances mathématiques de ces variables aléatoires, c’est-à-dire que :
\(E({X_1} + {X_2} + ...\) \( + Xn) = E({X_1})\) \( + E({X_2}) + ... + \) \(E({X_n})\)
• L'espérance mathématique du produit finie de variables aléatoires \(Xi\) est égale au produit des espérances mathématiques de ces variables aléatoires,
\(E({X_1} \times {X_2} \times ... \times {X_n})\) \( = E({X_1}) \times E({X_2}) \times \) \(... \times E({X_n})\)
• L’espérance mathématique dans le cas d'une répartition binômiale est égale au produit du nombre \(n\) de réalisations par la probabilité \(p\) d'une réalisation:
\(E(X) = np\)
• \(E(X + a) = \) \(E(X) + a\) avec \(a \in R\)
• \(E(aX) = aE(X)\)

III.2 Le mode.

On appelle mode de la variable aléatoire X notée \(Mo(X)\), sa valeur la plus probable « plus élevée » d’une répartition donnée.
C'est la valeur pour laquelle la densité de probabilité atteint sa valeur maximale.
Il faut noter qu'une variable aléatoire peut être polymodale c’est-à-dire avoir plusieurs modes et que le mode s'applique aussi bien dans le cas de variable aléatoire discrète que de variable aléatoire continue

III.3 La médiane

NB : Cette caractéristique ne s'applique qu'en cas de la variable aléatoire continue.

On appelle médiane d'une variable aléatoire continue X sa valeur \({M_C}\) pour laquelle les valeurs prises par X ont autant de chance d'être inférieures que d'être supérieures à \({M_C}\). Mathématiquement, cela se traduit par l'égalité:
\(P(X \prec Mo) = \) \(P(X \succ Mo) = 0,50\)
Géométriquement, \({M_C}\) est la droite parallèle à l'axe des ordonnées et divisant l’aire de la surface limitée par la courbe de \(f(x)\) et l'axe des abscisses en deux parties égales.

III.4 La variance

Il s'agit d'un indicateur mesurant la dispersion « l’étalonnage » des valeurs \({x_i}\) que peut prendre la variable aléatoire X, autour de son espérance mathématique E(X).

a) Cas d'une variable aléatoire discrète.

Lorsque cette quantité existe, elle vaut : \(V(X) = \) \(E{[X - E(X)]^2}\)
C'est l'espérance mathématique du carré de la variable aléatoire centrée \(X - E(X)\)

b) Cas d'une variable aléatoire continue

Cette variance est donne par la formule : \(V(X) = \int_a^b {{{(x - E(X))}^2}} \) \(f(x)dx\) sur un intervalle fini.

c) Propriétés de la variance

• \(V(X) \ge 0\) par définition ;
• \(V(X + a) = V(X)\)
• \(V(aX) = {a^2}V(X)\)
• \(V(X) = E({X^2}) - \) \({E^2}(X)\) Pour le calcul de la variance, il est souvent préférable d'utiliser la formule développée.
• \(V(X + Y) = \) \(V(X) + V(Y)\) Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes.

NB : Pour une répartition binomiale où \(n\) est le nombre de réalisation \(p\) la probabilité de réalisation \(V(X) = {\left[ {np(1 - p)} \right]^2}\)

III.5 Écart-type ou écart quadratique moyen

Pour les questions d'unité de mesure- il n'est pas commode d'utiliser en pratique la caractéristique \(V(X)\) puisque celle-ci est exprimée en carré d'unité de mesure du paramètre étudié. C'est la raison pour laquelle la caractéristique d'écart type est la plus utilisée. Celle-ci offre l'avantage qu'elle s'exprime dans les mêmes unités mesure que la variable aléatoire. L'écart-type noté \(\sigma (X)\) . est donné par la formule: \(\sigma (X) = \sqrt {V(X)} \) et caractérise l'écart moyen entre la variable aléatoire X et son espérance mathématique.
L'écart type se rapporte aussi bien à la variable aléatoire discrète qu'à la variable aléatoire continue.