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Situation problème
Dans une bouteille vide de contenance 1,5 litres, on verse une quantité au hasard d’eau. On considère la variable aléatoire X égale à ce volume d’eau en litres. Cette quantité peut être égale à n’importe quel nombre de l’intervalle [0 ; 1,5].
Cela signifie que X prend ses valeurs dans l’intervalle [0 ; 1,5].
Établir la loi de répartition de la variable X
Lorsqu’à chaque éventualité d’une expérience aléatoire, on associe un nombre réel, on dit que l’on a défini une variable aléatoire numérique X

I. Définition d'une variable aléatoire.

Soit un ensemble \(\Omega \) d'évènements constituant un espace probabilisé fini ou infini, On y considère un évènement A de \(\Omega \) et à tout A, on fait correspondre une valeur déterminée \(X = X(A)\). On dit alors qu'on donne à l'évènement A une variable aléatoire X qui est une fonction de A.

Une variable aléatoire est une grandeur pouvant prendre lors d'une expérience une valeur inconnue à l'avance.

Tout comme un évènement, une variable aléatoire se note par une lettre majuscule.

On distingue deux types de variables aléatoires :
• la variable aléatoire discrète ou discontinue;
• la variable aléatoire continue.

Une variable aléatoire est discrète si elle admet des valeurs et dénombrables.
Une variable aléatoire continue a des valeurs indénombrables et qui sont toujours définies sur un intervalle \(\left] {a,b} \right[\)

II. Loi de répartition d'une variable aléatoire.

a) Cas d'une variable aléatoire discrète.

Les variables aléatoires discrètes qui prennent un nombre fini de valeurs et leur loi est :
• soit connue binomiale ou Bernoulli ;
• soit présentable sous la forme d’un tableau.

Si, pour chaque valeur d'une variable aléatoire du type \({X_n}\) correspond une probabilité déterminée \({p_n}\), autrement dit, si on peut écrire que :
• \(P(X = {x_1}) = {p_1}\)
• \(P(X = {x_2}) = {p_2}\)
• …..
• \(P(X = {x_n}) = {p_,}\)

Où \(P(X = {x_i}) = {p_i}\) est la probabilité associée à la variable aléatoire X de valeur \({x_i}\) en supposant que les évènements sont incompatibles et forment un système complet, c’est-à-dire qu'on a l'égalité : \(\sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} = 1\)
Alors on dira qu’on a défini ainsi une loi de probabilité.
De ce qui précède. il vient qu'il est possible d'établir une relation fonctionnelle entre les différentes valeurs possibles d'une variable aléatoire et leurs probabilités respectives. Cette dépendance fonctionnelle peut s’exprimer sous forme de tableau
loi de probabilitesOn appelle loi de répartition d'une variable aléatoire X toute relation fonctionnelle établissant une correspondance entre les valeurs possibles \({X_i}\) de X avec leurs probabilités respectives.

Cette loi de répartition peut aussi s’exprimer graphiquement dans un repère ou l’on porte sur l’axe des abscisses les valeurs de \({X_i}\) et sur l’axe des ordonnées les valeurs correspondantes à \({P_i}\). On obtiendra :
• Soit un diagramme de répartition en bâtons; « fig 1 ».
• Soit un polygone de répartition « fig2 ».

diagramme de repartition batons

b)- Cas d'une variable aléatoire continue.

Ici, au lieu de chercher la probabilité associée à la valeur \({x_i}\) de X, on détermine plutôt la probabilité associée aux valeurs de la variable aléatoire X vérifiant l'inégalité \(X \prec x\). On obtient ainsi une fonction de répartition \(F(X) = P(X \prec x)\) dont les propriétés générales sont les suivantes.
• Soient \({x_1}\) et \({x_2}\) deux valeurs de X; si \({x_1} \prec {x_2}\), alors \(F({x_1}) \prec F({x_2})\) : La fonction de répartition est croissante.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } F(x) = 0\)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } F(x) = 1\)
• \(F(x) = P(X \prec x)\) \( = \sum\limits_{X \prec x} {P(X \prec {x_i})} \) c’est-à-dire qu'on fait la sommation de toutes les probabilités des valeurs \({{x_i}}\) de X inférieures à x.

La probabilité pour une variable aléatoire X d'être comprise dans un intervalle \(\left] {a,b} \right[\) donné se calcule grâce à la formule:

\(P(a \prec X \prec b) = \) \(F(b) - F(a)\)

Soit la fonction de répartition \(F(x)\) de X. On donne à \(x\) un accroissement \(\Delta x\) et on détermine l'accroissement de la fonction F(x). En effet,
\(\Delta F(x) = F(x + \Delta x)\) \( - F(x) = P(x \prec \) \(X \prec x + \Delta x)\)
Si on détermine le taux d’accroissement et calcule sa limite lorsque \(\Delta x \to 0\), on obtiendra :

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{F(x + \Delta x) - F(x)}}{{\Delta x}}\) \( = F'(x) = f(x)\)

En supposant bien-sûr que cette limite existe, la fonction \(f(x)\) est appelée densité de répartition des probabilités de X en un point donnée et sa courbe représentative : la courbe de probabilité.
Cette fonction a les propriétés suivantes :
\(f(x) \ge 0\)
\(\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x)} = 1\)

Remarque:
Si les valeurs x de X sont comprises dans l'intervalle fini \(\left[ {a,b} \right]\), alors la seconde propriété s'écrira plutôt: \(\int\limits_a^b {f(x)} = 1\)
\({f(x)}\) sera souvent appelée fonction de répartition de probabilité et \({F(x)}\) sa fonction intégrale de répartition de probabilité.
En résumé
• Une variable aléatoire discrète est caractérisée par sa fonction de répartition et son tableau de répartition ou aussi le polygone de répartition);
• Une variable aléatoire continue est caractérisée par sa fonction de répartition et la densité de répartition.