Corrections des exercices sur ondes mécaniques

CORRECTION I Les ondes mécaniques

Exercice I

1. La direction de propagation d’une onde à la surface de l’eau est perpendiculaire à sa direction de propagation: elle est une onde transversale.
2. C’est une onde périodique.
3. La distance entre 8 crêtes successives (9 longueurs d’onde) est de 45 cm. \[\lambda = \frac{{45}}{9} = 5{\rm{ cm}}\]
Soit λ=5 cm
4. Calcule de la célérité : \[c = \frac{\lambda }{T} = \lambda .N\] \(c = 1,5{\rm{m/s}}\)
5. A et B sont distants de 3 longueurs d’onde, soit 15 cm. \[t = \frac{{3\lambda }}{c}\] \(t = 100{\rm{ ms}}\)

CORRECTION II Les ondes mécaniques

CORRECTION III Les ondes mécaniques

CORRECTION IV Les ondes mécaniques

CORRECTION V Les ondes mécaniques

Exercice V

1. Soit : \(y(t) = a\sin (\omega t + \varphi )\) alors \(v(t) = \frac{{dy(t)}}{{dt}}\) \( = a\omega \cos (\omega t + \varphi )\)
Où y(t) est l’élongation et v(t) sa vitesse en un instant quelconque. a= 3 mm et \(\omega = 2\pi N\) \( = 160\pi \) rad/s
La phase à l’instant initial dépend des conditions initiales imposées. À l’instant initial, le point A passe par la position d’équilibre i.e. y(0)=0, ainsi \(\sin (\varphi ) = 0\left\{ \begin{array}{l}\varphi = 0\\\varphi = \pi \end{array} \right.\) et se déplace dans le sens positif, \(v(0) = {\left. {\frac{{dy(t)}}{{dt}}} \right|_{t = 0}}\) \( \succ 0 \Rightarrow \cos (\varphi ) \succ 0\)
Seule la solution, φ=0 satisfait à cette équation et cette inéquation. \(y(t) = 3\sin (160\pi .t)\) en mm
2. Le temps t au bout duquel l’élongation du point A est égale à 1,5 mm: \(3\sin (160\pi .t) = \frac{3}{2}\) \( \Rightarrow 3\sin (160\pi .t)\)\( = \frac{1}{2}\) ( 1 )
D’autre part, à cet instant, le point A se déplace dans le sens des élongations décroissantes. \(v(t) = {\left. {\frac{{dy(t)}}{{dt}}} \right|_{t = t1}}\) \( \prec 0 \Rightarrow \) \(\cos (160\pi t) \succ 0{\rm{ }}\) ( 2 )
Les solutions de l’équation (1) sont: \[\left\{ \begin{array}{l}160\pi t = \frac{\pi }{6} + 2k\pi \_{\rm{ (a)}}\\160\pi t = - \frac{\pi }{6} + (2k + 1)\pi \_{\rm{ (b)}}\end{array} \right.\]
Seules les solutions (b) sont compatibles avec l’inéquation (2) \[t = \frac{{12k + 5}}{{960}}\] avec \({\rm{ }}k \in N\)
3.1 Expression de l’élongation d’un point B situé à x₁= 5cm. \(y(t,{x_1}) = {y_B} = \) \(a\sin (\frac{{2\pi }}{T}t - \frac{{2\pi }}{{T.v}}{x_1})\) \( = 3\sin 2\pi (80t\) \( - 0,25)\)
3.2 Calcule de y_B(t₁), \({y_B}({t_1}) = 3\sin 2\pi (80{t_1}\) \( - 0,25) = - 3\) cm
Calcule de y_B(t₂), \({y_B}({t_2}) = 3\sin 2\pi (80{t_2}\) \( - 0,25) = - 3\) cm
Ce résultat était prévisible puisse que T=0, 1125s
Calcule de y_B(t₃), \({y_B}({t_3}) = 3\sin 2\pi (80{t_3}\) \( - 0,25) = - 2,90\) cm
4. On peut déterminer cette vitesse de deux façons différentes:
Si l=6m est la longueur de la corde, la distance parcourue pendant le temps t est \(6 \times l\) la célérité de propagation donc : \[v = \frac{{6.l}}{t}\] \(v = \frac{{6.6}}{{1,7}} = 21,2\) m/s
À partir de la tension de la corde, \(v = \sqrt {\frac{F}{\mu }} = \) \(\sqrt {\frac{F}{{\frac{m}{l}}}} = \) \(\sqrt {\frac{{F.l}}{m}} = \) 20,2 m/s
La deuxième vitesse est plus précise.

CORRECTION VI Les ondes mécaniques

CORRECTION VII Les ondes mécaniques

Exercice VII

1. La barre, écartée de sa position d’équilibre stable de ‘’ a’’ cm et lâchée sans vitesse initiale, effectue des oscillations qui sont régies par l'équation: \[\ddot y + \frac{k}{m}y = 0\]
La fréquence des oscillations est dont : \(\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \) \(2\pi N \Rightarrow \) \[N = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} \] \(N = 3,6Hz\)
2. Expression des élongations des points S₁ et S₂
Les S₁ et S₂ vont subir le mouvement de la barre P₁P₂, ainsi : \({y_{{S_1}}} = {y_{{S_2}}} = \) \(a\sin (2\pi N.t + \varphi )\)
À l’instant initial t=0 s, pris comme origine des dates, les pointes sont à des positions : \({y_{{S_1}}}(0) = \) \({y_{{S_2}}}(0) = a\)
Ainsi : \({y_{{S_1}}}(t) = {y_{{S_2}}}(t)\) \( = a\sin (2\pi N.t\) \( + \frac{\pi }{2})\)
3. On observe à la surface de l’eau dans la zone située entre les deux sources secondaires S₁ et S₂ des lignes de crêtes en forme d’arc d’hyperboles
En dehors de cette zone, on observe des rides circulaires qui s’agrandissent en s’éloignant de S₁ et S₂
4. Nous avons montré que l’élongation d’un point M entre S₁ et S₂ est : \[{y_M}(t) = Y\sin (\frac{{2\pi }}{T}t + \phi )\] Avec \(\left\{ \begin{array}{l}Y = 2a\cos \frac{\pi }{\lambda }({x_2} - {x_1})\\\phi = - \frac{\pi }{\lambda }({x_2} + {x_1}) + \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)
5.1 Calcule de la longueur d’onde de la perturbation le long de la corde, \[\left\{ \begin{array}{l}{x_2} - {x_1} = 58cm\\{x_2}' - {x_1}' = 49cm\end{array} \right.\]
Les deux points sont sur des franges d’amplitudes maximales. \[\left\{ \begin{array}{l}{x_2} - {x_1} = k\lambda \\{x_2}' - {x_1}' = k'\lambda \end{array} \right.\]
Les deux points sont voisins, \[\left| {k - k'} \right| = 1\], Ainsi : \(\left| {({x_2} - {x_1}) - ({x_2}' - {x_1}')} \right|\) \( = \left| {k - k'} \right|\lambda \) \( = \lambda \), \(\lambda = 9\) cm
Calcule de la célérité de la perturbation : \[v = \lambda .N\] \(v = 3,24 \times {10^{ - 2}}\) m/s
5.2 Déterminons le nombre et les points d’amplitude maximale. Le point M est un point d’amplitude maximale et appartient au segment [S₁S₂]=l, ainsi : \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| \le l\) \( \Leftrightarrow \) \( - l \le k\lambda \le l\) soit \( - \frac{l}{\lambda } \le k \le \frac{l}{\lambda }\) \( \Leftrightarrow \) \( - 6,66 \le k \le 6,66\)
k= {-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6}
On dénombre 13 points d’amplitudes maximale sur le segment [S₁S₂]
Déterminons la position des franges par rapport à S₁: \(\left\{ \begin{array}{l}({x_2} - {x_1}) = k\lambda \\({x_2} - {x_1}) = l\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \[{x_1} = \frac{l}{2} - k\frac{\lambda }{2}\]

k	-6	-5	-4	-3	-2	-1
x(cm)	57	52,5	48	43,5	39	34,5

k	0	1	2	3	4	5	6
x(vm)	30	25,5	21	16,5	12	7,5	3

CORRECTION VIII Les ondes mécaniques

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