a) Montrons que pour tout entier naturel \(k \succ 0\), \(\sqrt {k + 1} - \sqrt k \le \frac{1}{{2\sqrt k }}\)
\(\sqrt {k + 1} - \sqrt k = \) \(\frac{{\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)\left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)}}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt k }}\) \( = \frac{1}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt k }}\)
En effet, \(\sqrt {k + 1} - \sqrt k = \frac{1}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt k }}\)
Ainsi, \(\sqrt {k + 1} \ge \sqrt k \Rightarrow \) \(\sqrt {k + 1} + \sqrt k \ge \sqrt k \) \( + \sqrt k = 2\sqrt k \) soit \(\sqrt {k + 1} + \sqrt k \ge 2\sqrt k \) alors \( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt k }}\) \( \le \frac{1}{{2\sqrt k }}\)
Soit \(\sqrt {k + 1} - \sqrt k \le \frac{1}{{2\sqrt k }}\)
b) Pour montrer que \(2\left( {\sqrt {n + 1} - 1} \right) \prec un\), nous allons utiliser la sommation de l'inégalité trouvée dans la première partie.
Nous savons que : \(\sqrt {k + 1} - \sqrt k \le \frac{1}{{2\sqrt k }}\)
Nous pouvons sommer cette inégalité de $k=1$ à $n$ pour obtenir une estimation de \(\left( {un} \right)\).
\(\sum\limits_{k - 1}^n {\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)} \) \( \le \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{2\sqrt k }}} \)
\(\sum\limits_{k - 1}^n {\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)} \) \( \le \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{2\sqrt k }}} \)
\(\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \) \(\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \) \(\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) \le \) \(\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt 1 }} + .. + \frac{1}{{\sqrt n }}} \right)\)
\(\sqrt {n + 1} - 1 \le \frac{1}{2}{u_n}\) \( \Rightarrow 2\left( {\sqrt {n + 1} - 1} \right) \le {u_n}\)
Donc, nous avons montré que \(2\left( {\sqrt {n + 1} - 1} \right) \prec {u_n}\)
c) En deduire \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\)
Pour déduire la limite de \(\left( {un} \right)\) lorsque $n$ tend vers l'infini, nous allons utiliser la comparaison que nous avons établie dans la partie précédente : \(2\left( {\sqrt {n + 1} - 1} \right) \prec {u_n}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 2\left( {\sqrt {n + 1} - 1} \right)\) \( = + \infty \) donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \)
d) Montrons que la suite \(\left( {un} \right)\) est minorée par 1.
Pour montrer que la suite \(\left( {un} \right)\) est minorée par \(1\), nous allons examiner l'expression de \(\left( {un} \right)\) :
\({u_n} = \frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) \( + ... + \frac{1}{{\sqrt n }}\)
Chaque terme de cette somme est positif, donc \(\left( {un} \right)\) est une somme de termes positifs. Le terme initial de \(\left( {un} \right)\) est \(1\), puis chaque terme supplémentaire est strictement positif. Ainsi, \(\left( {un} \right)\) est toujours supérieur ou égal à \(1\), car il y a au moins un terme qui est \(1\) et les termes supplémentaires sont positifs.
Autrement dit : \(\mathop {\lim }\limits_{n \to 1} \frac{1}{{\sqrt n }} \to 1\)
Donc, la suite \(\left( {un} \right)\) est minorée par \(1\).
