Exercice 1 : Mouvements dans les champs
Partie 1 : Champs de gravitation terrestre.
1. Schématisation
2. Expression de gz et g0 : \({g_z} = \frac{{G{M_T}}}{{{{({R_T} + z)}^2}}}\) et \({g_0} = \frac{{G{M_T}}}{{R_T^2}}\)
Relation entre gz et g0
On peut constater que : \({g_0}R_T^2 = G{M_T}\) Ainsi :\[{g_z} = {g_0}\frac{{R_T^2}}{{{{({R_T} + z)}^2}}}\]
3. Montrons que pour RT >>z, \({g_z} = {g_0}\left( {1 - 2\frac{z}{{{R_T}}}} \right)\) En effet,
\({g_z} = \)\({g_0}\frac{{R_T^2}}{{{{({R_T} + z)}^2}}} = \)\({g_0}\left( {\frac{1}{{{{(1 + \frac{z}{{{R_T}}})}^2}}}} \right)\)\( = {g_0}{(1 + \frac{z}{{{R_T}}})^{ - 2}}\)\( = {g_0}\left( {1 - 2\frac{z}{{{R_T}}}} \right)\)
Partie 2 : Goutte d’huile électrisée en équilibre dans un champ électrique uniforme.
1. Schématisation : 
2. Masse de la gouttelette
La gouttelette étant en équilibre, on a la condition d’équilibre suivante : \(\sum {{{\overrightarrow F }_{ext}} = \overrightarrow 0 } \)\( \Leftrightarrow \)\(\overrightarrow P + \overrightarrow F = \overrightarrow 0 \)
Suivant la direction verticale
\( - P + F = 0\)\( \Leftrightarrow mg = \left| q \right|E\) ainsi : \[m = \frac{{\left| q \right|E}}{g} = \frac{{\left| q \right|U}}{{gd}}\] \(m = {5.10^{ - 3}}kg\)
Exercice 2 : Systèmes oscillants
1. L’oscillateur n’est pas amorti, car la courbe est une fonction sinusoïdale du temps et son amplitude constante.
2.1 Exploitation du graphe
À partir du graphe, on peut lire la période suivante. T0= 1,33 s
Calcule de la longueur du pendule simple : \({T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{L}{g}} \) \( \Rightarrow \) \(L = \frac{{gT_0^2}}{{4{\pi ^2}}}\)\( = 0,45m\)
2.2 Équation horaire des oscillations
Elle est de la forme
\(\theta (t) = \)\({\theta _0}\cos ({\omega _0}t + \varphi )\) avec ω0=4,72rad/s
À t =0, θ=θm, soit φ=0 : \(\theta (t) = \frac{\pi }{{20}}\cos (4,72t)\) rad
3. Expression de la vitesse angulaire
\(\dot \theta (t) = \frac{{d\theta (t)}}{d}\)\( = - \)\(\frac{\pi }{{20}} \times 4,72\sin (4,72t){\rm{ }}\)
Valeur maximale de la vitesse angulaire
\({\dot \theta _m} = \)\(\frac{\pi }{{20}} \times 4,72 = 0,74\) rad
4. Équation différentielle
D’après le TCI, \(\overrightarrow P + \overrightarrow T = m\overrightarrow {{a_G}} \)
Suivant la direction de \(\overrightarrow \tau \), On a : \( - g\sin (\theta ) = \frac{{dv}}{{dt}}\) avec \(v = L\dot \theta \) Soit : \[\ddot \theta + \frac{g}{L}\sin (\theta ) = 0\]
Pour les amplitudes faibles \(\sin (\theta ) \approx \theta \), l’équation différentielle précédente devient : \[\ddot \theta + \frac{g}{L}\theta = 0{\rm{ }}\]
Exercice 4 : Exploitation des résultats d’une expérience de physique
1. Complétons le tableau
| t(ms) | 0 | \(\tau \) | 2\(\tau \) | 3\(\tau \) | 4\(\tau \) |
| Points (Gi) | G0 | G1 | G2 | G3 | G4 |
| x(t) cm | 0 | 6,1 | 12,5 | 19,0 | 25,8 |
| v(t) m/s | 3,16 | 3,26 | 3,36 | 3,45 |
| t(ms) | 5\(\tau \) | 6\(\tau \) | 7\(\tau \) | 8\(\tau \) | 9\(\tau \) |
| Points (Gi ) | G5 | G6 | G7 | G8 | G9 |
| x(t) cm | 32,8 | 40,0 | 47,5 | 55,2 | 63,3 |
| v(t) m/s | 3,55 | 3,68 | 3,80 | 3,90 |
\[{v_i} = \frac{{{x_{i + 1}} - {x_i}}}{{2\tau }}\]
2. Traçons le graphe
3. Calcule de la vitesse initiale: c’est l’ordonnée à l’origine
\({v_0} = 3,0m/s\)
L’accélération est en fait la pente de la droite précédente. \[{a_G} = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = 5m/{s^2}\]
4. Calcule de la masse d’entrainement
Comme nous avons démontré au chapitre sur les lois de Newton : \[{a_G} = \frac{m}{{m + M}}g\] \(m = \frac{{M{a_G}}}{{g - {a_G}}} = 785g\)
