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Exercice 1 FGI : Epreuve de mathématiques poue BACC F et BT 2013
Exercice I {5 points}
L'espace (E) est rapporté à un repère orthonormal \((O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j ;\overrightarrow k )\). Les points A. B et C ont pour coordonnées respectives: A(3;-2; 2) ; B(6; 1; 5) ; C(6; -2; -1)
Partie A :
Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
2. Soit P le plan d’équation cartésienne x + y + z - 3 = 0 . Montrer que P est orthogonal à la droite (AB) et passe parle point A.
3. Soit P’ le plan orthogonal à la droite (AC) et passant par le point A. Déterminer une équation cartésienne de P’.
4. Déterminer une représentation paramétrique de la. droite \(\Delta \), droite d'intersection des plans P et P’.
Partie B :
l. Soit D le point de coordonnées D(0; 4; -1). Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).
2. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
3. Montrer que l’angle géométrique \(\widehat {BDC}\) a pour mesure \(\frac{\pi }{4}\) radian .
a) Calculer l'aire du triangle BDC.
b) En déduire la distance du point A au plan (BDC).
Exercice 2 : FGI : Epreuve de mathématiques poue BACC F et BT 2013
EXERCICE 2: {4 points}
La figure ci-contre représente le plan de la salle S123 du bloc pédagogique de la FGI à LOGBESSOU :
Le premier jour de TD d’analyse, les étudiants du groupe l sont invités par leur enseignant à s'installer au hasard sur des places disponibles dans cette salle. Ce groupe comporte 28 étudiants.
l. a) Quel est le nombre de répartitions possibles des places inoccupées ?
b) Calculer à l0-1 près. les probabilités des évènements suivants :
A : << les huit places du rang R4 sont toutes occupées »
B : « Il y a autant d’élèves à gauche qu'à droite de l'allée centrale »
2. Dans cette question. les résultats seront donnés sous forme fractionnaire. Soit X la variable aléatoire «nombre de places inoccupées au rang R4 >>.
a) Donner la loi de probabilité de X
b) Calculer son espérance mathématique.
Exercice 3 : FGI : Epreuve de mathématiques poue BACC F et BT 2013
Exercice 3 : { 5 points }
1 Soit la suite numérique \(({u_n})\) définie sur \(\mathbb{N}\) par : \({u_0} = 2\) et pour tout entrer naturel n. \({u_{n + 1}} = \frac{2}{3}{u_n} + \frac{1}{3}n + 1\)
a) Calculer u1, u2, u3, et u4. On pourra en donner des valeurs approchées à l0-2: près.
b) Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
2. a) Démontrer que pour tout entier naturel n, \({u_n} \le n + 3\)
b) Démontrer que pour tout entrer naturel n, \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{3}\left( {n + 3 - {u_n}} \right)\)
c) En déduire une validation de la conjecture précédente.
3. On désigne par \(({v_n})\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \({v_n} = {u_n} - n\)
a) Démontrer que la suite \(({v_n})\) est une suite géométrique de raison \(\frac{2}{3}\)
b) En déduire que pour tout entier naturel n, \({u_n} = 2{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} + n\)
c) Déterminer la limite de la suite \(({u_n})\) .
4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose : \({S_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{u_k}} \) \( = {u_0} + {u_1} + {u_2}\) \( + ... + {u_n}\) et \({T_n} = \frac{{{S_n}}}{{{n^2}}}\)
a) Exprimer Sn en l'onction de n.
b) Déterminer la limite de la suite \(\left( {{T_n}} \right)\)
Exercice 4 : FGI : Epreuve de mathématiques poue BACC F et BT 2013
Exercice 4 : {6 points}
Soit g la fonction définie sur \(]0; + \infty ]\) par :
\(g(x) = \frac{{\ln (x)}}{x} + e\)
On note \({C_g}\) la courbe représentative de g dans le plan rapporté à un repère orthonormal.
1. Déterminer les limites de g en 0 et en \( + \infty \). Que peut-on en déduire pour \({C_g}\)
2. Déterminer, à l'aide de la dérivée g’ . le sens de variation de g. Dresser le tableau de variation de g.
3. Résoudre dans \(]0; + \infty ]\) l'équation g(x) =e.
4. Calculer \(g\left( {\frac{1}{e}} \right)\). En déduire, pour tout x appartenant à \(]0; + \infty ]\) . le signe de g(x).
5. Tracer \({C_g}\) en indiquant les asymptotes et tangentes horizontales éventuelles.
(Faire apparaître sur le graphique le résultat de la question 3).
Soit f la fonction définie sur \(]0; + \infty ]\) par :
\(f(x) = \frac{1}{2}{(\ln x)^2} + ex - e\)
On note \({C_g}\), la courbe représentative de f dans le plan rapporte à un repère orthogonal.
6. Soit x appartenant à \(]0; + \infty ]\) Vérifier que \(f'(x) = g(x)\).
7. Déterminer les limites de f en 0 et en \( + \infty \)
8. Dresser le tableau de variations de f .
9. Déterminer une équation de la tangente (T) à \({C_f}\) en son point I d'abscisse 1.
Préciser la position de \({C_f}\) , par rapport à Tracer (T)
10. Tracer (T) et \({C_f}\).
