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Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
Une similitude directe est une transformation du plan dont l’écriture complexe est de la forme : \(Z' = aZ + b\), avec \(a \in \) \( \mathbb{C^*}\) et \(b \in \) \( \mathbb{C}\)

Exemple : Toute translation, toute homothétie et toute rotation est une similitude directe.

Propriété

Soit s une similitude directe d'écriture complexe : \(Z' = aZ + b\), avec \(a \in \) \( \mathbb{C^*}\) et \(b \in \) \( \mathbb{C}\)

• Si \(a = 1\), alors \(s\) est la translation de vecteur d'affixe \(b\).
• Si \(a \ne 1\), alors s est la similitude directe de centre d'affixe \(\frac{b}{{1 - a}}\), de rapport \({\left| a \right|}\) , \(\arg \left( a \right)\)

Le centre, le rapport et l’angle d’une similitude directe sont appelés ses éléments caractéristiques.

Remarque
• Toute rotation d’angle \(\alpha \) est une similitude directe de rapport 1 et d’angle \(\alpha \).
• Toute homothétie de rapport \(k\left( {k \succ 0} \right)\) est une similitude directe de rapport \(k\) etd’angle nul.
• Toute homothétie de rapport \(k\left( {k \succ 0} \right)\) est une similitude directe de rapport \(k\) et d’angle nul
• Toute homothétie de rapport \(k\left( {k \succ 0} \right)\) est une similitude directe de rapport \( −?\) et d’angle \(\pi \).

I Reconnaitre une similitude directe définie par son écriture complexe

Propriétés :
Dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormé direct, on considère la similitude directe S d’écriture complexe : \(Z' = aZ + b\), avec \(a \in \) \( \mathbb{C^*}\) et \(b \in \) \( \mathbb{C}\)
Conditions vérifiées par a
1) Si \(a \in \) \( \mathbb{R^*}\), on a :
• Si \(a=1\),
(Nature et éléments caractéristiques de S)
S est la translation du vecteur \(\overrightarrow u \) d’affixe \(b\)
• Si \(a \in \) \( \mathbb{R^*}\) \(\backslash \left\{ 1 \right\}\)
(Nature et éléments caractéristiques de S)
S est l’homothétie de centre \(\Omega \) d’affixe \(\frac{b}{{1 - a}}\) et d’angle \(\arg \left( a \right)\)
2) Si \(a \in \) \( \mathbb{C}\) \(\backslash \) \( \mathbb{R}\)
• Si \(a = 1\)
(Nature et éléments caractéristiques de S)
S est une rotation de centre \(\Omega \) d’affixe \(\frac{b}{{1 - a}}\) de rapport \({\left| a \right|}\) d’angle \(\arg \left( a \right)\)
• Si \(a \ne 1\)
S est une similitude de centre \(\Omega \) d’affixe \(\frac{b}{{1 - a}}\) de rapport \({\left| a \right|}\) d’angle \(\arg \left( a \right)\)

II. Détermination de l’écriture complexe d’une similitude directe donnée par son centre, son rapport et son angle.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
Propriété
Soit \(M'\) un point du plan d'affixe \(Z’\) qui est l’image d'un point \(M\) d'affixe \(Z\) par une similitude directe S de centre \(\Omega \) d’affixe \({Z_\Omega }\), de rapport \(k\) et d'angle \(\theta \).
On a : \(Z' = k{e^{i\theta }}\) \(\left( {Z - {Z_\Omega }} \right) + {Z_\Omega }\)

III. Construction de l’image d’un point par une similitude directe définie par son centre, son rapport et son angle.

Propriété
Soit \(S\) une similitude directe de centre A, de rapport \(k\) et d'angle \(\theta \) avec \(\theta \in \left] { - \pi ;\pi } \right]\).
Pour tout point M du plan distinct de A,
\(s\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}AM' = kAM\\mes\left( {\widehat {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} }} \right) = \theta \end{array} \right.\)

Conséquence
Toute similitude directe \(s\left( {A,k,\theta } \right)\) de centre A, de rapport \(k\) et d'angle de mesure \(\theta \) , s'écrit de façon unique sous la forme :

\(s\left( {A,k,\theta } \right) = \) \(r\left( {A,\theta } \right) \circ h\left( {A,k} \right)\) \( = h\left( {A,k} \right) \circ r\left( {A,\theta } \right)\)

• \(h\left( {A,k} \right)\) est l'homothétie de centre A et de rapport \(k\)
• \(r\left( {A,\theta } \right)\) est la rotation de centre A et d'angle de mesure \(\theta \).

Vocabulaire :
L’écriture : \(s\left( {A,k,\theta } \right) = \) \(r\left( {A,\theta } \right) \circ h\left( {A,k} \right)\) \( = h\left( {A,k} \right) \circ r\left( {A,\theta } \right)\) s’appelle la décomposition canonique de la similitude directe \(s\left( {A,k,\theta } \right)\)

IV. Similitude directe définie par deux points distincts et leurs images

Propriété
Soit A, B, C et D quatre points du plan tels que : \(A \ne B\) et \(C \ne D\). Il existe une unique similitude directe qui transforme A en C et B en D.

Conséquence
Soit A, B et C trois points du plan tels que : \(A \ne B\) et \(C \ne D\). Il existe une unique similitude directe qui transforme A en B et B en C

V. Similitude directe définie par son centre, un point et son image

Propriété
Soit A, B et C trois points du plan tels que : \(A \ne B\) et \(C \ne D\). Il existe une unique similitude directe de centre A qui transforme B en C.

VI. Images de figures simples par une similitude directe

Propriété 1
Toute similitude directe de rapport \(k\) transforme :
• Une droite en une droite ;
• Une demi-droite en une demi-droite ;
• Un segment de longueur \(l\) en un segment de longueur \(kl\);
• Un cercle de centre A et de rayon ? en un cercle de centre A’, image de A par la similitude directe, et de rayon \(??\).

Propriété 2
Toute similitude directe de rapport ? multiplie :
• Les distances par \(?\);
• Les aires par \({k^2}\).

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