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Exercice I

A) Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe S dont l’écriture complexe est : \(Z' = \left( {1 - i} \right)\) \(Z + i\)
B) Déterminer dans chaque cas, la nature et les éléments caractéristiques de la similitude directe S définie par son écriture complexe :
a) \(Z' = 5Z + 2i\)
b) \(Z' = Z + \) \(1 + 3i\)
c) \(Z' = \left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) \(Z + \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
d) \(Z' = \left( { - 1 + i} \right)\) \(Z + 2\)

Exercice II

A. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe de centre le point A d’affixe \(i\), de rapport \(\sqrt 2 \) et d’angle \(\frac{\pi }{4}\)
B. Écris la décomposition canonique de \(s\left( {A;2;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)
C. Construis l'image \(M'\) d’un point \(M\) par la similitude directe S de centre A, de rapport 3 et d'angle \({\frac{\pi }{6}}\).

Exercice III

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct.
On donne les points \(A\left( 2 \right)\), \(B\left( {2 + 2i} \right)\), \(C\left( {1 - 3i} \right)\) et \(C\left( { - 4i} \right)\).
a) Trouve l'écriture complexe de la similitude directe s telle que : \(s\left( A \right) = C\) et \(s\left( B \right) = D\).
b) Détermine les éléments caractéristiques de S.

Exercice IV

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, on donne les points \(A\left( { - 2 + i} \right)\), \(B\left( {1 + 2i} \right)\) et \(C\left( {2 - i} \right)\). On considère la similitude directe S de centre A telle que : \(s\left( B \right) = C\).
a) Trouver l'écriture complexe de S.
b) Déterminer les éléments caractéristiques de S

Exercice V

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O, I, J).
On donne la similitude directe S dont l’écriture complexe est : \(Z' = \left( {1 + i} \right)\) \(Z - 1 - 2i\)
a) Calcule l'aire \({a_1}\) de l’image du triangle OIJ par S.
b) Trouve l'image \(\left( {{C_2}} \right)\) par S du cercle \(\left( {{C_1}} \right)\) de centre O et de rayon 2.
c) Détermine l’image de la droite (OI) par S.