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Exercice I

Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :
a) \({Z_1} = 1 - i\sqrt 3 \) ;
b) \({Z_2} = 2 + 2i\) ;
c) \({Z_3} = - 1 - i\sqrt 3 \) ;
d) \({Z_4} = \frac{{{Z_1}}}{{{Z_2}}}\) ;
e) \({Z_5} = {\left( {{Z_2}} \right)^2} \times {Z_3}\) ;
f) \({Z_6} = {\left( {\frac{{{Z_3}}}{{{Z_1}}}} \right)^3}\).

Exercice II

Donner la forme polaire des nombres complexes suivants :
a) \({Z_1} = - 1 - i\) ;
b) \({Z_2} = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\) ;
c) \({Z_3} = 1 - i\sqrt 3 \) ;
d) \({Z_1} \times {Z_2}\) ;
e) \(\frac{{{Z_3}}}{{{Z_2}}}\) ;
f) \(Z_3^4\).

Exercice III

Compléter le tableau suivant

Formes algé briques de \(Z\) \( - 5(1\) \( + i\sqrt 3 )\)    
Formes trigono métriques de \(Z\)     \(2(\) \(\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\) \( + i\) \(\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right))\)
Formes exponen tielles de \(Z\)   \(4{e^{i\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}}\)  

Exercice IV

Soient les nombres complexes :
a) \({Z_1} = \) \(\frac{{\sqrt 6 - i\sqrt 2 }}{2}\)
b) \({Z_2} = 1 - i\)
c) \({Z_3} = \frac{{{Z_1}}}{{{Z_2}}}\)
1) Écrire \({Z_1}\), \({Z_2}\) et \({Z_3}\) sous forme trigonométrique.
2) Écrire \({Z_3}\) sous forme algébrique.
3) Déduire les valeurs exactes de \(\cos \frac{\pi }{{12}}\) et \(\sin \frac{\pi }{{12}}\)
4) Calculez \({\left( {{Z_3}} \right)^{24}}\)