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Un nombre complexe peut être écrit sous différentes formes, au-delà de forme algébrique qui s’écrit : \(Z = a + ib\), nous pouvons aussi avoir :

I. Forme trigonométrique d'un nombre complexe

I.1 Définition

Soit \(Z = a + ib\), un nombre complexe de module \(r\) et d’argument \(\theta \). On appelle forme trigonométrique de \(Z\) toute écriture de la forme \(Z = r\) \(\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)\) avec \(r = \) \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) et
\(\theta \in \left[ { - \pi ;\pi } \right[\) \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \theta = \frac{a}{r}\\\sin \theta = \frac{b}{r}\end{array} \right.\)

I.2 Propriétés

Soient \(Z\) et \(Z’\) deux complexe tels que \(Z = r\) \(\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)\) et \(Z' = r'\) \(\left( {\cos \theta ' + i\sin \theta '} \right)\)

P.1 \(Z \times Z' = r \times r'\) \((\cos \left( {\theta + \theta '} \right)\) \( + i\sin \left( {\theta + \theta '} \right))\)

P.2 \(\frac{Z}{{Z'}} = \frac{r}{{r'}}\) \((\cos \left( {\theta - \theta '} \right) + \) \(i\sin \left( {\theta - \theta '} \right))\)

P.3 \({Z^n} = {r^n}\) \(\left( {\cos n\theta + i\sin n\theta } \right)\)

N.B : si \(r = 1\) \({Z^n} = \) \(\left( {\cos n\theta + i\sin n\theta } \right)\)

II. Forme polaire d’un nombre complexe

II.1 Définition :

Soit \(Z\) un nombre complexe de module \(r\) et d’argument \(\theta \), On appelle forme polaire de \(Z\) toute écriture de Z de la forme \(Z = \left[ {r;\theta } \right]\)

II.2 Propriétés :

Soient \(Z\) et \(Z'\) deux complexe tels que \(Z = \left[ {r;\theta } \right]\) et \(Z' = \left[ {r';\theta '} \right]\)

P.1 \(Z \times Z' = \) \(\left[ {r \times r';\theta + \theta } \right]\)

P.2 \(\frac{Z}{{Z'}} = \) \(\left[ {\frac{r}{{r'}};\theta - \theta '} \right]\)
P.3 \({Z^n} = \) \(\left[ {{r^n};n\theta '} \right]\)

III. Forme exponentielle d'un nombre complexe

III.1 Définition

Soit \(Z\) un nombre complexe de module \(r\) et d’argument \(\theta \). On appelle forme exponentielle d'un nombre complexe \(Z\), toute écriture de \(Z\) se ramenant sous la forme \(Z = r{e^{i\theta }}\) où son conjugué est \(\overline Z = r{e^{ - i\theta }}\)
forme exponentiel nombre complexe

III.2 Propriétés :

Soient \(Z\) et \(Z’\) deux nombres complexes de formes exponentielles respectives : \(Z = r{e^{i\theta }}\) et \(Z' = r'{e^{i\theta '}}\)

P.1 \(Z \times Z' = \) \(r \times r'{e^{i\left( {\theta + \theta '} \right)}}\)

P.2 \(\frac{Z}{{Z'}} = \frac{r}{{r'}}\) \({e^{i\left( {\theta - \theta '} \right)}}\)

P.3 \(Z \times \overline Z = \) \(r \times r'\) \({e^{i\left( {\theta - \theta } \right)}} = {r^2}\)

P.4 \({Z^n} = {r^n}{e^{in\theta }}\)

P.5 : Formule d'Euler
\(\left\{ \begin{array}{l}\cos \theta = \frac{{{e^{i\theta }} + {e^{ - i\theta }}}}{2}\\\sin \theta = \frac{{{e^{i\theta }} - {e^{ - i\theta }}}}{2}\end{array} \right.\) soit \(\left\{ \begin{array}{l}\cos n\theta = \frac{{{e^{in\theta }} + {e^{ - in\theta }}}}{2}\\\sin n\theta = \frac{{{e^{in\theta }} - {e^{ - in\theta }}}}{2}\end{array} \right.\)

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