Le pendule simple Le pendule simple

I.3 Le pendule simple

C’est un solide de masse m, de petites dimensions accroché à l’extrémité d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l très grande devant les dimensions du solide.
Il faut noter également que le moment d’inertie du pendule simple par rapport à son axe de rotation est donné par : \[{J_\Delta } = m{l^2}\]
- Etude dynamique
Ecarté de sa position d’équilibre et lâché sans vitesse initiale, il effectue des oscillations autour de sa position d’équilibre stable.
Il est soumis à l’action du poids et à la tension du fil.
Supposons le référentiel d’étude galiléen et appliquons le TCI dans la base de Frenet \((G;\overrightarrow n ,\overrightarrow \tau )\)
\(\overrightarrow P \left( \begin{array}{l} - mg\cos (\theta )\\ - mg\sin (\theta )\end{array} \right)\) \( + \overrightarrow T \left( \begin{array}{l}T\\0\end{array} \right) = \) \(m\overrightarrow {{a_G}} \left( \begin{array}{l}\frac{{{v^2}}}{l}\\l\ddot \theta \end{array} \right)\)\( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l} - mg\cos (\theta ) + T = ml{{\dot \theta }^2}\\ - mg\sin (\theta ) + 0 = ml\ddot \theta \end{array} \right.\) \[\left\{ \begin{array}{l}T = mg\cos (\theta ) + ml{{\dot \theta }^2}{\rm{ (1)}}\\\ddot \theta + \frac{g}{l}\sin (\theta ) = 0{\rm{ (2)}}\end{array} \right.\]
Un oscillateur est dit harmonique lorsque l’équation horaire régissant ses oscillations est de la forme : \[\theta (t) = {\theta _{\max }}\sin (\omega t + \varphi )\] et l’équation différentielle réguisant ses oscillations de la forme : \[\ddot \theta + {\omega _0}\theta = 0{\rm{ }}\]
De la relation (2), il est aisé de dire que le pendule simple n’est par un oscillateur harmonique.
Pour des amplitudes faibles; i.e. \(\sin (\theta ) \approx \theta \), Nous avons : \[\ddot \theta + \frac{g}{l}\theta = 0\] qui est l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique de pulsation propre ω₀\[\omega _0^2 = \frac{g}{l}\]
La solution de l’équation précédente est de la forme \(\theta (t) = {\theta _{\max }}\sin (\omega t + \varphi )\) avec θ_max et φ dépendent des conditions initiales de l’expérience. Sa pulsation est : \({\omega _0} = \sqrt {\frac{g}{l}} \) etla période des oscillations : \[{T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \]
Évaluons la vitesse de ce pendule au cours de son mouvement.
D’après le théorème de l’énergie cinétique entre A et M, \({E_{{C_M}}} - {E_{{C_A}}} = \) \(W(\overrightarrow P ) + W(\overrightarrow T )\) \( \Leftrightarrow \) \(\frac{1}{2}mv_M^2 = \) \( - mg({z_M} - {z_A})\). \({E_{{C_M}}} = - mg((l - l\cos (\theta ))\) \( - (l - l\cos ({\theta _{\max }})))\),  \({E_{{C_M}}} = mgl(\cos (\theta )\) \( - \cos ({\theta _{\max }}))\) Soit : \(v_M^2 = 2gl(\cos (\theta )\) \( - \cos ({\theta _{\max }}))\)
Nous pouvons ainsi déterminer l’intensité de la tension de la corde au point M. en effet : \({T_M} = mg\cos (\theta )\) \( + m\frac{{v_M^2}}{l}\) \( = mg[3\cos (\theta )\) \( - 2\cos ({\theta _{\max }})]\) Avec : \(v_M^2 = 2gl(\cos (\theta )\) \( - \cos ({\theta _{\max }}))\)
-Etude énergétique
Au point A, l’énergie mécanique est égale à l’énergie potentielle de pesanteur du solide. \({E_m}(A) = {E_{pp}}(A)\) \( = mgl(1 - \cos ({\theta _{\max }}))\) \( \approx \frac{1}{2}mgl\theta _{\max }^2\)
Au point M : \({E_m}(M) = \frac{1}{2}{J_\Delta }{{\dot \theta }^2}\) \( + mgl(1 - \cos (\theta ))\) \( \approx \frac{1}{2}mgl\theta _{\max }^2\)
À démontrer vous pouvez poser la question sur le forum du site si vous ne parvenez pas à le faire.
E_m (A)=E_m (M)
Il y a conservation de l’énergie mécanique du système pour des angles faibles.
La période propre T_o d'un oscillateur correspond à la période de ses oscillations libres en l'absence d'amortissement.