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I. Équation de la tangente d’une courbe en un point M

Considérons la courbe d'équation \(y = f(x)\), choisissons sur cette courbe un point \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) (figure ci-dessous) et écrivons l'équation de la tangente à cette courbe en ce point , en supposant que cette tangente ne soit pas parallèle à l'axe des ordonnées.
tangente normaleL'équation de la droite passant par le point M et de coefficient angulaire k est de la forme \(y - {y_1} = \) \(k\left( {x - {x_1}} \right)\)
Si cette droite est la tangente à la courbe en ce point, alors \(k = f'({x_1})\) et cette équation devient :
\(y = f'({x_1})\) \(\left( {x - {x_1}} \right) - {y_1}\)

II. Équation de la Normale d’une courbe en un point M

On appelle normale à une courbe en un point donné la droite passant par ce point et perpendiculaire à la tangente en ce point. Il découle immédiatement de cette définition que le coefficient angulaire \({k_n}\) de la normale est lié au coefficient angulaire \(k\) de la tangente par la relation :
\({k_n} = - \frac{1}{k}\)
Ainsi \(y = - \frac{1}{{f'({x_1})}}\) \(\left( {x - {x_1}} \right) - {y_1}\) est appelée équation de la normale à la courbe au point M.

III. Longueurs de la sous-tangente et de la sous-normale

La longueur T du segment QM (figure ci-dessus) de la tangente, compris entre le point de tangence M et l'axe Ox, est appelée longueur de la tangente.
La projection du segment QM sur l'axe Ox, c'est-à-dire le segment QP, est appelée la sous-tangente. On désigne par \({S_T}\) la longueur de la sous-tangente.
La longueur N du segment MR est appelée la longueur de la normale et la projection RP de ce segment sur l'axe Ox la sous-normale. On désigne la longueur de la sous-normale par \({S_N}\).
Ainsi :

• \(QP = {S_T}\) \( = \left| {\frac{{f({x_1})}}{{f'({x_1})}}} \right|\)

• \(T = \) \(\sqrt {{f^2}({x_1}) + \frac{{{f^2}({x_1})}}{{{{\left( {f'({x_1})} \right)}^2}}}} \) \( = \) \(\left| {\frac{{f'({x_1})}}{{f'({x_1})}}\sqrt {{{\left( {f'({x_1})} \right)}^2} + 1} } \right|\)

• \(PR = \) \({S_N} = \) \(\left| {f({x_1}).f'({x_1})} \right|\)

• \(N = \) \(\sqrt {{f^2}({x_1}) + {{\left( {f({x_1})f'({x_1})} \right)}^2}} \) \( = \) \(\left| {f({x_1})\sqrt {{{\left( {f'({x_1})} \right)}^2} + 1} } \right|\)