Objectifs:
Déterminer, à partir des lois de Newton, les caractéristiques de quelques mouvements rectilignes uniformément variés d’un système de points matériels ou d’une particule dans un champ uniforme.
II) Application des lois de Newton dans un champ uniforme.
II .1 Dans un champ de pesanteur uniforme
II.1.1 Chute libre d’un mobile sans vitesse initiale
Un mobile est en mouvement de chute libre lorsqu’il se déplace dans l’air sous la seule action de son poids, les autres forces étant négligées.
— Étude de cas
On lâche un solide (S) sans vitesse initiale d’un point situé à 9 mètres au dessus du sol, que l’on prendra comme origine
1. Quelle est l’équation horaire de solide (S) dans ce repère?
2. Quel temps mettra-t-il pour arriver au sol?
Solution
1. Le référentiel étant celui de laboratoire que nous supposons galiléen.
La seule force extérieure est le poids du solide
Appliquons le TCI: \(\overrightarrow P = m{\overrightarrow a _G} \Rightarrow m\overrightarrow g = m{\overrightarrow a _G}\) \[{\overrightarrow a _G} = \overrightarrow {g{\rm{ }}} \_(1)\]
En projetant la relation (1) suivant les axes de coordonnées, nous avons: \[{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}0\\0\\{a_{0z}}\end{array} \right. = \overrightarrow g \left| \begin{array}{l}0\\0\\g\end{array} \right.\]
Le mouvement de la particule étant orienté suivant l’axe OZ, nous avons:\[{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}0\\0\\g\end{array} \right.,{\rm{ }}\overrightarrow v \left| \begin{array}{l}0\\0\\g.t\end{array} \right.\_et\_{\rm{ }}\overrightarrow {OM} \left| \begin{array}{l}x(t) = {x_0}\\y(t) = 0\\z(t) = \frac{1}{2}g{t^2}\end{array} \right.\]
L’équation horaire est dont \(z(t) = \frac{1}{2}g{t^2}\) si x0=0 et sa vitesse en un instant donné par: \(v = g.t\)
2. Le temps que mettra le solide pour arriver au sol est donné pour z(t)=h=9m. \[z = h = \frac{1}{2}g{t^2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2h}}{g}} = 1,35s\]
Pour un solide en mouvement de chute libre, les espaces parcourus en des intervalles de temps égaux sont en progression arithmétique.
Considérons des dates en progression arithmétique à partir d’une date origine t0 : \({t_1} = {t_0} + \tau ,\) \({t_2} = {t_1} + \tau = {t_0} + 2\tau \) \(,...,\) \({t_n} = {t_0} + n\tau \)
Ceci veut tout simplement dire que les positions successives sont repérés à des intervalles de temps réguliers et égaux.
Considérons les espaces parcourus entre\(({t_{n - 1}},{t_n})\) et \(({t_n},{t_{n + 1}})\). \(\Delta {x_n} = {x_n} - {x_{n - 1}}\)\( = \frac{1}{2}g.[{({t_0} + n\tau )^2} - {({t_0} + (n - 1)\tau )^2}]\) \[\Delta {x_n} = {x_n} - {x_{n - 1}} = \frac{1}{2}g\tau (2{t_0} + 2n\tau - \tau )\] \[\Delta {x_{n + 1}} = {x_{n + 1}} - {x_n} = \frac{1}{2}g\tau (2{t_0} + (2n + 1)\tau - \tau )\]
Ainsi : \[\Delta {x_{n + 1}} - \Delta {x_n} = g{\tau ^2}\]
De manière générale, au cours d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré, les espaces parcourus en des intervalles de temps égaux sont en progression arithmétique de raison \({a_G}{\tau ^2}\).
II.1.2 Mouvement d’un solide sur un plan incliné.
Un solide de masse m, abandonné sans vitesse initiale, glisse le long de la ligne de plus grande pente d’un plan incliné d’angle \(\alpha \).
—Étudions le mouvement du solide depuis l’instant de son lâcher.
Le référentiel \((0,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\) est un référentiel de laboratoire , on peut le considérer galiléen.
Les forces extérieurs appliquées au solide sont : \(\overrightarrow P \) et \(\overrightarrow R \)
D’après le TCI: \(\overrightarrow P + \overrightarrow R = m{\overrightarrow a _G}\). \[\overrightarrow P \left| \begin{array}{l}mg\sin (\alpha )\\ - mg\cos (\alpha )\end{array} \right.{\rm{ }} + {\rm{ }}\overrightarrow R \left| \begin{array}{l} - f\\{R_N}\end{array} \right. = m{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}m{a_G}\\0\end{array} \right.\]
Suivant x’x\[{a_x} = {a_G} = g\sin (\alpha ) - \frac{f}{m}\]
On retrouve le relation (1) en appliquant sur S, le théorème de l’énergie cinétique entre t0 et un instant quelconque t.
En effet: \({E_C} - {E_{C0}} = W(\overrightarrow P ) + W(\overrightarrow R )\) \(\frac{1}{2}mv_G^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = mg.OM.\sin (\alpha ) - f.OM\)
Avec M un point quelconque sur le plan incliné.
En dérivant membre à membre cette relation par rapport au temps, nous avons : \[\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{1}{2}mv_G^2 - \frac{1}{2}mv_0^2} \right) = \left( {mg\sin (\alpha ) - f} \right)\frac{{dOM}}{{dt}}\] \(m{v_G}\frac{{d{v_G}}}{{dt}} = m{v_G}{a_G} = \left( {mg.\sin (\alpha ) - f} \right){v_G}\)
Ainsi: \[{a_G} = g\sin (\alpha ) - \frac{f}{m}\]
Si le solide n’est pas soumis aux forces de frottement f=0 et \[{a_G} = g\sin (\alpha )\]
II.1.3 Mouvement d’un projectile dans un champ de pesanteur
On se propose d’étudier un coup-franc en football en faisant les hypothèses suivantes:
- l’influence de l’air est négligée
- Le champ de pesanteur est uniforme,
Le joueur tire le coup-franc en communiquant au ballon une vitesse initiale \(\overrightarrow {{v_0}} \) dans le plan \((0,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\) qui fait un angle \(\alpha \) avec le sol ( horizontal)
Déterminer l’équation de la trajectoire du ballon, sa portée et sa flèche.
- le système étudié est le ballon,
- Le référentiel est celui du laboratoire donc galiléen
- La seule force extérieur est son poids.
D’après le TCI: \[\overrightarrow P = m.{\overrightarrow a _G} \Rightarrow {\overrightarrow a _G} = \overrightarrow g {\rm{ \_(1)}}\]
Projetons la relation (1) suivant les différents axes de coordonnées: \({\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}0\\ - g\\0\end{array} \right.,{\rm{ }}\overrightarrow v \left| \begin{array}{l}{v_x} = {v_0}\cos (\alpha )\\{v_y} = - gt + {v_0}\sin (\alpha )\\{v_z} = 0\end{array} \right.\) et \[\overrightarrow {OM} \left| \begin{array}{l}x(t) = {v_0}\cos (\alpha )t + {x_0}\\y(t) = - \frac{1}{2}g{t^2} + {v_0}\sin (t) + {y_0}\\z(t) = 0\end{array} \right.\]
La balle part du point O(0,0,0) alors x0=0 et y0=0. l’équation horaire devient: \[\left\{ \begin{array}{l}x(t) = {v_0}\cos (\alpha ).t\\y(t) = - \frac{1}{2}g{t^2} + {v_0}\sin (\alpha ).t\end{array} \right.\]
De ce système d’équation, nous pouvons déduire l’équation de la trajectoire \(t = \frac{x}{{{v_0}\cos (\alpha )}}\) et \(y = - \frac{1}{2}g{(\frac{x}{{{v_0}\cos (\alpha )}})^2}\)\( + {v_0}\sin (\alpha )(\frac{x}{{{v_0}\cos (\alpha )}})\)
Ainsi: \[y = - \frac{1}{2}g\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {{v_0}\cos (\alpha )} \right)}^2}}} + x\tan (\alpha )\]
La trajectoire du ballon est une parabole avec la concavité tournée vers le bas.
La portée est le point d’abscisse P( xp,0) où le ballon touche le sol. Elle est obtenue en résolvant l’équation y=0. \({\rm{ }}{y_P} = - \frac{1}{2}g\frac{{x_P^2}}{{{{\left( {{v_0}\cos (\alpha )} \right)}^2}}} + {x_P}\tan (\alpha ) = 0\) \( \Rightarrow {x_P}\left[ { - \frac{1}{2}g\frac{{{x_P}}}{{{{\left( {{v_0}\cos (\alpha )} \right)}^2}}} + \tan (\alpha )} \right] = 0\)
On a deux solutions: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_P} = 0\\{x_P} = \frac{{v_0^2}}{g}2\sin (\alpha )\cos (\alpha ) = \frac{{v_0^2\sin (2\alpha )}}{g}\end{array} \right.\]
Pour une vitesse \({\overrightarrow v _0}\) donnée, la portée est maximale lorsque: \(\sin (2\alpha ) = 1 \Rightarrow 2\alpha = \frac{\pi }{2}{\rm{ }}\) soit \(\alpha = \frac{\pi }{4}\)
La portée maximale est dont: \[{x_{p\max }} = \frac{{v_0^2}}{g}\]
Pour \({x_P} \prec {x_{P\max }} = \frac{{v_0^2}}{g}\) l’équation \({x_P} = \frac{{v_0^2\sin (2\alpha )}}{g}\) admet deux solutions \({\alpha _1}\) et \({\alpha _2}\) telles que: \(2{\alpha _1} = 2\alpha {\rm{ }}\) et \({\alpha _2} = \pi - 2\alpha \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\alpha _1} = \alpha \\{\alpha _2} = \frac{\pi }{2} - \alpha \end{array} \right.\)
La flèche est la hauteur maximale atteinte par le ballon. Elle est caractérisée par la point F (xF, yF ) c’est le point où la vitesse du ballon est nulle. \[\overrightarrow v \left| \begin{array}{l}{v_x} = {v_0}\cos (\alpha )\\{v_y} = - gt + {v_0}\sin (\alpha ) = 0 \Rightarrow t = \frac{{{v_0}\sin (\alpha )}}{g}\end{array} \right.\]
\(\left\{ \begin{array}{l}x = {v_0}\cos (\alpha ).t\\y = - \frac{1}{2}g{t^2} + {v_0}\sin (\alpha ).t\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_F} = {v_0}\cos (\alpha )\frac{{{v_0}\sin (\alpha )}}{g}\\{y_F} = - \frac{1}{2}g{\left( {\frac{{{v_0}\sin (\alpha )}}{g}} \right)^2} + {v_0}\sin (\alpha )\frac{{{v_0}\sin (\alpha )}}{g}\end{array} \right.\)
\[F\left\{ \begin{array}{l}{x_F} = \frac{{v_0^2\sin (2\alpha )}}{{2g}} = \frac{{{x_P}}}{2}\\{y_F} = \frac{{v_0^2{{\sin }^2}(\alpha )}}{{2g}}\end{array} \right.\]
II.1.3.1 La parabole de sûreté
La parabole de sûreté est l’enveloppe qui enferme tous les points de l’espace que l’on peut atteindre avec un projectile (ballon) lancé de O avec une vitesse de module v0 donné, dans une direction quelconque.
Nous savons que \(\frac{1}{{{{\cos }^2}(\alpha )}} = 1 + {\tan ^2}(\alpha )\), de l’équation de la trajectoire \[y = - \frac{1}{2}g\frac{{{x^2}}}{{v_0^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}(\alpha )} \right) + x\tan (\alpha )\]
Si nous considérons un point C( xC, yC) atteint par le projectile, il doit satisfaire à l’équation \[{y_C} = - \frac{1}{2}g\frac{{x_C^2}}{{v_0^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}(\alpha )} \right) + {x_C}\tan (\alpha )\]
Soit: \[g.x_C^2{\tan ^2}(\alpha ) - 2{x_C}v_0^2\tan (\alpha ) + 2{y_C}v_0^2 + gx_C^2 = 0\]
Cette équation permet de déterminer les angles \(\alpha \) pour lesquels le ballon atteint le point C. elle n’a de solution que si \[\Delta ' = v_0^4 - (2{y_C}v_0^2 + g.x_c^2)g \ge 0\]
L’équation \(v_0^4 - (2{y_C}v_0^2 + g.x_c^2)g = 0\) sera la limite des points atteints. elle peut s’écrire: \[{y_C} = - \frac{g}{{2v_0^2}}x_C^2 + \frac{{v_0^2}}{{2g}}\]
C’est l’équation d’une parabole avec la concavité tournée vers la bas dite parabole de sécurité ou parabole de sûreté. Si les points sont à l’extérieur de la parabole , ils ne pourront être atteints car le discriminant réduit sera inferieur à zéro. Cette parabole enveloppe toutes les paraboles correspondantes aux différentes valeurs de \(\alpha \).
La parabole de sûreté coupe l’axe des y au point \({y_C} = \frac{{v_0^2}}{{2g}}\) qui correspond au point atteint par un mobile lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale de valeur v0.
II.2 Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme
II.2.1 Cas où \(\overrightarrow {{v_0}} \) n’est pas perpendiculaire à \(\overrightarrow E \)
À l’instant initial, une particule de masse m et de charge électrique q>0 pénètre avec une vitesse dans l’ espace compris entre les armatures d’un condensateur plan, auxquelles on a appliqué une tension constante ( schéma )
Nous nous proposons de déterminer les équations horaires et de la trajectoire de la particule, sa vitesse à la sortie des armatures.
- Système étudié: particule de masse m et de charge q>0
- Référentiel de laboratoire supposé galiléen
- Forces extérieurs:\(\overrightarrow F \) et \(\overrightarrow P \) ( l’intensité du poids étant négligeable par rapport à celle de la force électrique)
- D’après le TCI: \[\overrightarrow F = q\overrightarrow E = m{\overrightarrow a _G} \Rightarrow {\overrightarrow a _G} = \frac{q}{m}\overrightarrow E \] soit \({\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}{a_{Gx}} = 0\\{a_{Gy}} = - q\frac{E}{m}\\{a_{Gz}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow v \left| \begin{array}{l}{v_x} = {v_0}\cos (\alpha )\\{v_y} = - q\frac{E}{m}t + {v_0}\sin (\alpha )\\{v_z} = 0\end{array} \right.\) \[\overrightarrow {OM} \left| \begin{array}{l}x = {v_0}\cos (\alpha )t\\y = - \frac{1}{2}\frac{{qE}}{m}{t^2} + {v_0}\sin (\alpha )\\z = 0\end{array} \right.\]
Les équations horaires de cette particule sont: \[\left\{ \begin{array}{l}x = {v_0}\cos (\alpha )t\\y = - \frac{1}{2}\frac{{qE}}{m}{t^2} + {v_0}\sin (\alpha )\\z = 0\end{array} \right.\]
L’équation de la trajectoire est la suivante. \[y = - \frac{{qE}}{{2mv_0^2{{\cos }^2}(\alpha )}}{x^2} + x\tan (\alpha )\]
C’est l’équation d’une parabole avec la concavité tournée vers la bas.
Particule au point de sortie S:de Coordonnées \({x_S} = l\) et \({y_S} = - \frac{{qE}}{{2mv_0^2{{\cos }^2}(\alpha )}}{l^2} + l\tan (\alpha )\)
La date de sortie de la particule au point S est: \({t_S} = \frac{l}{{{v_0}cos(\alpha )}}\)
La vitesse \(\overrightarrow {{v_S}} \) de la particule à la sortie du champ a pour coordonnées : \({v_{Sx}} = {v_0}\cos (\alpha ){\rm{ }}\) et \({v_{Sy}} = - \frac{{qEl}}{{mv_0^2\cos (\alpha )}} + {v_0}\sin (\alpha )\)
Le temps au bout duquel la particule atteint le point F le plus haut est: \(v(F) = 0 \Rightarrow {t_F} = \frac{{{v_0}m\sin (\alpha )}}{{qE}}\)
On peut déterminer xF et yF comme précédemment.
II.2.2 Cas où \({\vec v_0}\) est perpendiculaire à \(\overrightarrow E \)
Considérons une particule chargée positivement en mouvement dans un champ électrique uniforme (schéma)
Le référentiel étant galiléen, appliquons y le TCI: \(\overrightarrow F = q\overrightarrow E = m{\overrightarrow a _G} \Rightarrow {\overrightarrow a _G} = \frac{q}{m}\overrightarrow E \) \[{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}0\\\frac{q}{m}E\\0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow v \left| \begin{array}{l}{v_x} = {v_0}\\{v_y} = \frac{q}{m}E\\{v_z} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {OM} \left| \begin{array}{l}x = {v_0}t\\y = \frac{1}{2}\frac{q}{m}E.{t^2}\\z = 0\end{array} \right.\]
Équations horaires sont: \[\left\{ \begin{array}{l}x = {v_0}t\\y = \frac{1}{2}\frac{q}{m}E.{t^2}\end{array} \right.\]
Équation de la trajectoire: \[y = \frac{1}{2}\frac{{qE}}{{mv_0^2}}{x^2}\]
Noter le sens de la force électrostatique par rapport au sens de l’axe Oy: c’est ce qui explique l’absence du signe négatif.
— Condition pour que la particule émerge du champ
Pour que la particule sorte des armatures du condensateur ( du champ électrique), il faut que : \[y(l) \prec \frac{d}{2}\]
Résolvons dont l’inéquation: \(x = l\) et \(y \prec \frac{d}{2}\)
La vitesse initiale doit remplir cette condition. \[{v_0} \succ \frac{l}{d}\sqrt {\frac{{qU}}{m}} \] avec \(E = \frac{U}{d}\)
Si v0 est déjà fixée, la condition suivante doit être satisfaite pour le champ électrique et par ricochet pour la tension aux bornes du condensateur.\[U \prec \frac{{m{d^2}v_0^2}}{{q{l^2}}}\]
La déviation angulaire α est l’angle formé par la droite tangente à la courbe en S et l’axe Ox. Elle vaut : \[\tan (\alpha ) = {\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|_{x = {x_S} = l}} = \frac{{qE}}{{mv_0^2}}\] \(\alpha = {\tan ^{ - 1}}(\frac{{qEl}}{{mv_0^2}})\)
Au delà de S, la particule n’est plus soumisse à la force électrostatique. On peut calculer la déflexion électrostatique qui est la déviation produite par les armatures d’un condensateur de longueur l sur un faisceau d’électrons.
La déflexion est dans ce cas la distance O’P. \(tan(\alpha ) = \frac{{O'P}}{{D - \frac{l}{2}}}\) \(O'P = \left( {D - \frac{l}{2}} \right)\tan (\alpha )\) \(O'P = (D - \frac{l}{2})(\frac{{qEl}}{{mv_0^2}})\)\[O'P = (D - \frac{l}{2})(\frac{{ql}}{{mv_0^2}})\frac{U}{d} = kU\]
Cette déflexion est proportionnelle à la tension qui règne entre les armatures donc; plus le champ est important, plus la déflexion est importante. Cette propriété permet :
- De mesurer la tension électrique par les oscilloscopes,.
- De déterminer la charge massique \(\frac{q}{m}\)
- De séparer les particules de même vitesse et de charges massiques différentes.
