PARTIE A : Évaluation des ressources (10 points)

Activités numériques : (5 points)

Exercice 1 : (2 points)

Calculons le nombre \(A = \frac{{25}}{{18}} - \frac{7}{9} \times \left( { - \frac{5}{{14}} + \frac{8}{{21}}} \right)\) et donnons le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
D’accord, commençons par simplifier l’expression dans la parenthèse :
\( - \frac{5}{{14}} + \frac{8}{{21}} = - \) \(\frac{{15}}{{42}} + \frac{{16}}{{42}} = \frac{1}{{42}}\)
Ensuite, nous substituons cette valeur dans l’expression initiale :
\(A = \frac{{25}}{{18}} - \frac{7}{9} \times \frac{1}{{42}}\) \( = \frac{{74}}{{54}} = \frac{{37}}{{27}}\)
\(A = \frac{{37}}{{27}}\) est la forme irréductible de la fraction.
2. Soit \(B = {\left( {3 - 2\sqrt 3 } \right)^2}\). Montrer que \(B = 21 - 12\sqrt 3 \)
D’accord, commençons par développer l’expression de B :
\(B = {\left( {3 - 2\sqrt 3 } \right)^2} = \) \(9 - 2 \times 3 \times 2\sqrt 3 + \) \(4 \times 3 = 21 - 12\sqrt 3 \)
Donc, nous avons bien \(B = 21 - 12\sqrt 3 \)
3. Choisir la bonne réponse parmi les quatre qui sont proposées :
Le nombre \(\sqrt {21 - 12\sqrt 3 } \) est égal à \(a)3 - 2\sqrt 3 \)
\(\sqrt B = \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } \) \( = \sqrt {{{(3 - 2\sqrt 3 )}^2}} \) \( = 3 - 2\sqrt 3 \) ou \( = - 3 -+2\sqrt 3 \)

Exercice 2 : (1,5 point)

1. On considère l'expression \(C = {\left( {x - 1} \right)^2} + \) \(\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right)\)
Mettons C sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré.
\(C = \left( {x - 1} \right)\) \(\left[ {\left( {x - 1} \right) - \left( {2x - 3} \right)} \right]\) \( = \left( {x - 1} \right)\left( {3x - 4} \right)\)
\(C = \left( {x - 1} \right)\left( {3x - 4} \right)\)
2. On considère fraction rationnelle \(Q = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
Donnons la condition d’existence d'une valeur numérique de Q puis simplifions Q.
La condition d’existence d’une valeur numérique de Q est que le dénominateur ne soit pas égal à zéro. Donc, nous avons : \(x - 1 \ne 0\) et \(x + 2 \ne 0\)
Donc \(x \ne 1\) et \(x \ne - 2\)
Ensuite, nous pouvons simplifier l’expression de Q en annulant le facteur commun au numérateur et au dénominateur : \(Q = \frac{{3x - 4}}{{x + 2}}\)

Exercice 3 ( 1,5 pts)

1. Déterminons l'amplitude des classes de cette série. 0,25 pt
Les classes de cette série ont pour amplitude \(1\)
2. Donnons une classe modale de cette série statistique. 0,25pt
La classe modale de cette serie statistique est \(\left[ {10;11} \right[\) ou \(\left[ {12;13} \right[\)
3. Calculons la moyenne des âges des enfants de ce club. 1 pt
Cette moyenne est égale à : \(M = \frac{{\sum {{x_i}} }}{{\sum {{n_i}} }} = \) \(\frac{{343}}{{30}} = 11,43\)

Activés géométriques : (5 points)

Exercice 1 : (1,75 point)

Le pian est muni d’un repère orthonormé \(\left( {O;I,J} \right)\). On considéré les points A et E de coordonnées respectives \((3 ; 2)\) ; \((-2 ; 1)\).
1. Calculons les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow {AB} \). 0,5pt
\(\overrightarrow {AB} \left( \begin{array}{l} - 2 - 3\\1 - 2\end{array} \right) \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AB} \left( \begin{array}{l} - 5\\ - 1\end{array} \right)\)
2. Déterminons une équation cartésienne de la droite (AB). 0,75 pt
Pour déterminer une équation cartésienne de la droite (AB), nous avons besoin du coefficient directeur de la droite et de l’ordonnée à l’origine.
Le coefficient directeur \(m\) est donné par la formule : \(m = \frac{{{y_B} - {y_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \) \(\frac{{1 - 2}}{{ - 2 - 3}} = \frac{1}{5}\)
L’ordonnée à l’origine\( p\) est la valeur de y lorsque \(x=0\). Nous pouvons obtenir cette valeur en utilisant l’équation de la droite \(y=mx+p\) et les coordonnées d’un des points, par exemple le point A : \(2 = \frac{1}{5} \times 3 + p\) \( \Rightarrow p = \frac{7}{5}\)
Donc, l’équation cartésienne de la droite (AB) est : \(y = \frac{1}{5}x + \frac{7}{5}\).
Une autre façon de répondre à la question : \(\overrightarrow {AB} \left( \begin{array}{l} - 5\\ - 1\end{array} \right)\) est un vecteur directeur de la droite \((AB)\)
Soit \(M(x ;y)\) un point de la droite \(\overrightarrow {AM} \left( \begin{array}{l}x - 3\\y - 2\end{array} \right)\) est aussi un vecteur directeyr de la droite \((AB)\).
\(\overrightarrow {AB} \left( \begin{array}{l} - 5\\ - 1\end{array} \right)\) et \(\overrightarrow {AM} \left( \begin{array}{l}x - 3\\y - 2\end{array} \right)\) colinéaires signifie que : \( - 5\left( {y - 2} \right) - \) \(\left( { - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\) ce qui nous permet d’obtenir \(x - 5y + 7 = 0\)
Donc une équation cartésienne de la droite (AB) est : \(x - 5y + 7 = 0\)
3. Pour vérifier si deux droites sont perpendiculaires, nous pouvons utiliser le fait que le produit de leurs pentes est égal à \( -1\).
La pente d’une droite d’équation \(ax+by+c=0\) est \(−a/b\). Donc, les pentes des droites \((D)\) et \((L)\) sont respectivement \(1/5\) et \(−5\).
Le produit de ces deux pentes est \((1/5)×(−5)=−1\), ce qui confirme que les droites \((D)\) et \((L)\) sont perpendiculaires.
Donc, la réponse est Vrai. Les droites \((D)\) et \((L)\) sont perpendiculaires.

Exercice 2 1,75 pt

Les points \(E\), \(M\) et \(F\) sur la droite \((EF)\) sont alignes dans le même ordre que les points \(E\), \(N\) et \(G\) sur la droite \((EG)\)
On a : \(\frac{{EM}}{{EF}} = \frac{{1,5}}{6} = \frac{1}{4}\) et \(\frac{{EN}}{{EG}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). On constate que \(\frac{{EM}}{{EF}} = \frac{{EN}}{{EG}}\)
Donc d'après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites \((FG)\) et \((MN)\) sont parallèles.
2. Calculons \(\tan \widehat {EGF}\) et déduisons-en l'arrondi à 1° près de la mesure de l'angle \(\widehat {EGF}\).
\(\tan \widehat {EGF} = \frac{{EF}}{{EG}}\) \( = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) donc \(mes\widehat {EGF} \approx 36,86 \approx {37^0}\)
3. Donnons le centre et le rapport de cette homothétie.
Le triangle EFG est l'image du triangle EMN par l'homothétie de centre E et de rapport 4.

Exercice 3 1,5 pt

1. Calculons le volume \(v\) du grand cône.
\(v = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} \times V = \) \(\frac{{10}}{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^3}}} = 270c{m^3}\)
2. Calculons I aire A de la base du grand cône.
\(a = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} \times A \Rightarrow A = \) \(\frac{a}{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^3}}} = \frac{5}{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^3}}} = 45\)
Soit \(A = 45c{m^3}\)

PARTIE B : Évaluation des compétences (10 points)

1. Calculons le nombre minimal de poteaux que ANGO doit utiliser pour l’une des deux longueurs de son terrain. 3pts
Pour calculer le nombre minimal de poteaux que ANGO doit utiliser pour l'une des deux longueurs de son terrain, nous devons d'abord trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) des dimensions du terrain, c'est-à-dire la plus grande longueur que les poteaux peuvent couvrir sans laisser d'espace vide.
Les dimensions du terrain sont :
• Longueur = 546 m
• Largeur = 510 m
Calculons le PGCD de 546 et 510 :
\(546 = 2 \times 3 \times 7 \times 13\)
\(510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17\)
Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, chacun élevé à la puissance la plus faible à laquelle il apparaît dans les deux nombres. Donc : \(PGCD = 2 \times 3 = 6\)
Cela signifie que la distance entre chaque poteau doit être de 6 mètres pour qu'ils soient régulièrement espacés sur les côtés les plus longs du terrain
Maintenant, pour déterminer le nombre minimal de poteaux nécessaires, nous devons diviser la longueur du côté par la distance entre chaque poteau, puis ajouter 1 pour tenir compte du poteau au coin. Donc :
Nombre minimal de poteaux = (Longueur du côté / Distance entre chaque poteau) + 1
Nombre minimal de poteaux = (546 m / 6 m) + 1
Nombre minimal de poteaux ≈ 91 + 1 =92
Nombre minimal de poteaux ≈ 92
Donc, ANGO doit utiliser au moins 92 poteaux pour l'une des deux longueurs de son terrain.
2. Calculons le nombre minimal de poteaux pour lequel l'offre du vendeur Alpha est plus avantageuse que celle du vendeur Beta. 3pts
Calculons la dépense gui sera effectuée par ANGO s'il choisit le vendeur Alpha.
Cette dépense sera égale à : \(1400x + 20 000\).
Calculons la dépense qui sera effectuée par ANGO s'il choisit le vendeur Beta.
Cette dépense sera égale à : \(1600x\).
Calculons le nombre minimal de poteaux pour lequel l’offre du vendeur Alpha est plus avantageuse que celle du vendeur Beta.
\(1400x + 20000 \prec 1600x\) signifie que \(200x \succ 20000\). Donc \(x \succ 100\).
Donc le nombre minimal de poteaux pour lequel l'offre du vendeur Alpha est plus avantageuse que celle du vendeur Beta est égal à 101 poteaux.
3. Calculons le nombre de palmiers à huile que ANGO peut planter sur la première parcelle.
Désignons par x la superficie en m2 de la première parcelle.
La superficie en m2 de la deuxième parcelle est égale à : \(\frac{4}{5}x\).
La superficie en m2 des trois parcelles est égale à : \(x + \frac{4}{5}x + 54360\) \( = 278460\), qui permet d’avoir \(\frac{9}{5}x = 224100 \Rightarrow \) \(x = \frac{{224100 \times 5}}{9}\) \( = 124500\)
Soit \(x = 124500{m^2}\).
Calculons le nombre de palmiers à huile que ANGO peut planter sur la première parcelle.
Le nombre de palmiers à huile est égal à : \(\frac{{124500}}{9} \approx 3557\) palmiers à huile.

N.B : Le point réservé à la présentation porte sur l'ensemble de toute la copie du candidat.