I. Rappels et compléments des propriétés dans \(\Re \)

1) Ensemble des entiers naturels

L’ensemble des entiers naturels est noté : \(\mathbb{N}\) \( = \) \(\left\{ {0 ;1 ;... + \infty } \right\}\)
N.B : L’ensemble des entiers naturels privé de zéro est noté \(\mathbb{N^*}\) tel que : \(\mathbb{N^*}\) \( = \) \(\left\{ {1 ;... + \infty } \right\}\)

2) L’ensemble des entiers relatifs

L’ensemble des entiers relatifs \(\mathbb{Z}\) \( = \) \(\{ - \infty ;... ; - 1 ;\) \(0 ;1 ;2 ;... ;\) \( + \infty \} \)

3) L’ensemble des nombres rationnels

L’ensemble des nombres rationnels est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire comme quotient de deux entiers relatifs.
L’ensemble des nombres rationnels est noté \( \mathbb{Q}\), tel que : \(\mathbb{Q}\)\( = \left\{ {\frac{P}{Q}} \right\}\) avec \(P \in \) \( \mathbb{Z}\) et \(Q \in \) \( \mathbb{Z^*}\)

4) L’ensemble des nombres réels

Certains nombre comme : \(\sqrt 2 \); \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) et \(\pi \) ne peuvent pas s’écrire comme quotient de deux entiers relatifs. Ce sont des nombres irrationnels et l’ensemble des nombres irrationnels et rationnels forment l’ensemble des nombres réels.
L’ensemble des entiers relatifs est noté : \( \mathbb{R}\), tel que : \( \mathbb{R}\) \( = \{ - \infty ;...;\) \( - \sqrt 2 ;...;0;\) \(...; + \infty \} \)

\( \mathbb{N}\) \( \subset \) \( \mathbb{Z}\) \( \subset \) \( \mathbb{Q}\) \( \subset \) \( \mathbb{R}\)

Activité :
Résoudre dans \( \mathbb{R}\) l’équation : \(x^2 + 1 = 0\). Conclure.

Remarque :
Lorsqu’une équation n’a pas de solutions, une démarche naturelle (et historique) consiste à en chercher dans un ensemble plus grand. Au stade de nos connaissances actuelles, l’ensemble numérique le plus grand que l’on a rencontré est \( \mathbb{R}\). Ainsi un nouvel ensemble pris naissance au XVIIème siècle par JEROME CARDAN (Mathématicien Italien) afin de trouver des solutions pour l’équation : \({x^2} + 1 = 0\) ou des équations du second degré à discriminant négatif. Cet ensemble s'appellera :

Ensemble des nombres complexes ou ensemble des corps complexes et sera noté \( \mathbb{C}\)

Le principal élément de \( \mathbb{C}\) sera noté \(i\) ( \(i\) comme imaginaire).
Le nombre \(i\) est tel que \({i^2} = - 1\). L’équation ci-dessus possède alors deux solutions :
\({x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \) \({x^2} - {i^2} = \) \((x - i)\) \((x + i) = 0\)
Donc \(\left\{ \begin{array}{l}x = i\\x = - i\end{array} \right.\)

II. Définition ; vocabulaire et interprétation graphique

II.1 Définition

On appelle nombre complexe, tout couple ordonné de deux nombres réels a et b tel que \(Z = a + ib\) où \(i\) est un imaginaire tel que \({i^2} = - 1\).

II.2 Notation et vocabulaire

Soit Z un nombre complexe tel que \(Z = a + ib\)
• l'écriture \(Z = a + ib\) est appelée forme algébrique de Z
• le nombre réel a est appelé partie réelle de Z et est noté \({\mathop{\rm Re}\nolimits} (Z)\)
• le nombre réel b est appelé partie imaginaire de Z et est noté \({\mathop{\rm Im}\nolimits} (Z)\)

NB :
Si \(b = 0\); alors \(Z = a\) (Z est un nombre à la fois réel et complexe)
Si \( a = 0\) ; alors \(Z = ib\) (Z est un imaginaire pur).

II..3 Interprétation graphique :

A tout point \(M\left( \begin{array}{l}a\\b\end{array} \right)\) du plan P, on peut associer un nombre complexe \(Z = a + ib\) .
• M est le point image et Z l’affixe du point M.
• \(\overrightarrow {OM} \) est le vecteur image du nombre complexe, \(Z = a + ib\) l’affixe du vecteur \(\overrightarrow {OM} \)
Ainsi on a la représentation graphique du M comme suit :