Connexion

Connexion à votre compte

Identifiant
Mot de passe
Maintenir la connexion active sur ce site

Créer un compte

Pour valider ce formulaire, vous devez remplir tous les champs.
Nom
Identifiant
Mot de passe
Répétez le mot de passe
Adresse e-mail
Répétez l'adresse e-mail
Captcha
Baccalauréat
Mathématique
C & E
2018
Correction
Bonjour ! Groupe telegram de camerecole, soumettrez-y toutes vos préoccupations. forum telegram

Exercice I (série C uniquement) / 5 points
1.a) Montrons en utilisant l’identité de Bézout que a et b sont premiers entre eux
Déterminons deux entiers u et v tels que \(au + \) \(bv = \) \(1\)
On peut écrire
\(5a + \) \(( - 14)b\) \( = \) \(5(14p\) \( + 3) + \) \(( - 14)\) \((5p + 1)\) \( = 70p\) \( + 15\) \( - 70p\) \( - 14\) \( = 1\)
A et b sont donc premiers entre eux 1pt
1.b) Déduisons-en que 87 et 31 sont premiers entre eux
87=14x6+3 et 31=5x6+1
87 et 31 sont ainsi premiers entre eux d’après la question 1.a 0,75pt
1.c) Cherchons tous les couples \(({u_o};{v_o})\) d’entiers tels que \(87{u_o}\) \( + 31{v_o}\) \( = 2\)
Sachant que 5x87+31x(-14)=1, on a 87x10+31(-28)=2x1=2
Prendre \({u_o} = 10\) et \({v_o} = - 28\)
2. Cherchons tous les couples (x ;y) d’entiers tels que (E) \(87x + \) \(31y = 2\)
Soit (x ;y) un couple d’entiers solution de (E), On a \(87x\) \( + 31y\) \( = 2\)
On sait aussi que 87x10+31x(-28)=2x1=2, En multipliant les membres de la deuxième égalité par (-1), puis en additionnant les membres de l’égalité obtenue et de ceux de (E), on obtient 87(x-10)+31(y+28)=0. D’où 87(x-10)=-31(y+28).
87 divise -31(y+28) et est premier avec 31. D’après le théorème de GAUSS, 87 divise y+28 ; y=87k-28 et donc x=-31k+10 où k est entier. On peut vérifier qu’inversement, pour tout entier k, le couple (-31k+10 ; 87k-28) est solution de (E). Les solutions de (E) sont donc tous les couples couple (-31k+10 ; 87k-28) où k est un entier arbitraire. 0,75pts
3. Déterminons les points de (D) vérifiant les conditions du texte
Oit (x ;y) un couple de coordonnées d’un point quelconque de (D). (x ;y) est une solution de (E). Il existe ainsi un entier k tel que \(x = \) \( - 31k + 10\) et \(y = \) \(87k - 28\)
De \(0 \le x\) \( \le 100\), on a \(0 \le \) \( - 31x + 10\) \( \le 100\) et donc \( - \frac{{90}}{{31}} \le \) \(x \le \frac{{10}}{{31}}\)
\(k \in \{ - 1;\) \( - 1;0\} \)

k -2 -1 0
x 72 41 10
y 202 115 28

Les points de (D) vérifient les solutions du texte ont pour coordonnées (10 ;28), (41 ;115), (72 ;202) 1,25 pt

Exercice I (Série E uniquement) / 5points
1.a ) Montrons que \(N = \) \(4n - 10\).
Il y a 5-n réponses non correctes ou non données
\(N = 2 \times n\) \( + ( - 2) \times \) \((5 - n) = \) \(4n - 10\) 1 pt
1.b) Déduisons –en l’ensemble des notes possibles qu’un candidat peut avoir à ce test
N peut prendre les valeurs 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ou 5 et donc N peut quant à lui prendre les valeurs correspondantes : -10 ; -6 ; -2 ; 2 ; 6 ou 10 1 pt
2.a ) Déterminons les notes possibles de candidat Eya.
On peut avoir les éventualités suivantes pour les trois derniers questions :
- Trois réponses justes exactes ;
- Deux réponses justes exactes ;
- Une réponse juste ;
- Aucune réponse juste
Soit N=10 ou N=6 ou N=2 ou N=-2 1pt
2.b) Calculons les probabilités de A et B
i) \(p(A)\) \( = p(N = 6)\) \( + p(N\) \( = 10)\) \( = \) \(C_3^2{(\frac{1}{3})^2}\) \((\frac{2}{3}) + \) \(C_3^3{(\frac{1}{3})^3}\) \( = \frac{7}{{27}}\) 1pt
ii) \(p(B) = \) \(C_5^4{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}\) \(\left( {\frac{1}{2}} \right) + \) \(C_5^5{\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}\) \( = \frac{3}{{16}}\) 1pt

Exercice II / 5 points
1. Calculons les coordonnées de \(\overrightarrow {AM} \wedge \overrightarrow {BM} \)
\(\overrightarrow {AM} \wedge \overrightarrow {BM} \) \( = [(x - 2)\overrightarrow i \) \( + y\overrightarrow j + \) \((z - 1)\overrightarrow k ]\) \( \wedge [(x - 3)\overrightarrow i \) \( + (y + 2)\overrightarrow j \) \( + z\overrightarrow k ]\)
\(\overrightarrow {AM} \wedge \overrightarrow {BM} = \) \([(y - 2z + 2)\overrightarrow i + \) \(( - x - z\) \( + 3)\overrightarrow j + \) \((2x + y\) \( - 4)\overrightarrow k ]\)
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow {AM} \wedge \overrightarrow {BM} \) sont
\([(y - 2z\) \( + 2);\) \(( - x - \) \(z + 3);\) \((2x + y\) \( - 4)]\) dans la base \((\overrightarrow i ;\overrightarrow j ;\overrightarrow k )\) 1 pt
2. Résolvons le système
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y - 2z = - 4\\ - x - y - z = - 11\\2x + y - z = 8\end{array} \right.\)
Ce système a le même triplet solution que les systèmes
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y - 2z = - 4\\2y - z = 7\\3y - 5z = 0\end{array} \right.\) et
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y - 2z = - 4\\2y - z = 7\\ - 7z = - 21\end{array} \right.\)
Ce qui donne x=3 ; y=5 et z=3 1 pt
3. Montrons qu’il existe un unique point N dont on déterminera les coordonnes et qui vérifie \(\overrightarrow {AN} \wedge \) \(\overrightarrow {BN} = \) \(\overrightarrow {CN} \)
Les coordonnées (x ;y ;z) du possible point N sont solution du système
\(\left\{ \begin{array}{l}y - 2z + 2 = x - 2\\ - x - z + 3 = y - 8\\2x + y - 4 = z + 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l} - x + y - 2z = - 4\\ - x - y - z = - 11\\2x + y - z = 8\end{array} \right.\)
qui est exactement le système proposé à la question 2. Or ce système admet pour unique triplet solution, le triplet (3,5,3)
N existe , est unique et a pour coordonnées (3,5,2) dans le repère orthonormé direct \((O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j ;\overrightarrow k )\) 1pt
4.a) Montrons que le volume v du tétraèdre ABCN est \(\frac{1}{2}C{N^2}\)
On sait que \(\overrightarrow {AN} \wedge \overrightarrow {BN} \) \( = \overrightarrow {CN} \). Le vecteur \(\overrightarrow {CN} \) est donc orthogonal aux vecteurs \(\overrightarrow {CN} \) et \(\overrightarrow {NB} \)
En considérant le plan (ANB), (CN) est orthogonal au plan (ANB) et par suite, CN est la distance du point C au plan (ANB)
Par conséquent,
\(v = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \) \(\left\| {\overrightarrow {NA} \wedge \overrightarrow {NB} } \right\| \times \) \(CN = \frac{1}{6}C{N^2}\)  1pt
En effet,
\(v = \frac{1}{6} \times \) \(\left\| {\overrightarrow {NA} \wedge \overrightarrow {NB} .\overrightarrow {CN} } \right\|\) \( = \frac{1}{6}\) \(\left| {\overrightarrow {CN} .\overrightarrow {NC} } \right|\) \( = \frac{1}{6}C{N^2}\).
4.b) Calcule de l’aire ABC
\(Aire(ABC)\) \( = \frac{1}{2}\) \(\left\| {\overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC} } \right\|\) \( = \frac{1}{2}\) \(\left| {18\overrightarrow i + 5\overrightarrow j + 8\overrightarrow k } \right|\) \( = \frac{1}{2}\sqrt {413} \) 0,5pt
4.c) Déduisons –en la distance du point N au plan (ABC)
En notant d cette distance, on a
\(v = \frac{1}{3}\) \(Aire(ABC) \times d\) \( \Rightarrow d = \) \(\frac{{3v}}{{Aire(ABC)}}\) \( = \frac{{\sqrt {413} }}{7}\) 0,5pt

Problème /10 points
Partie A :
1.a Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation (E) \({z^2} - \) \(3z + 4\) \( = 0\)
Le discriminant de cette équation est \(\Delta = (i\sqrt 7 )\) et ses solutions
\(\frac{{3 - i\sqrt 7 }}{2}\) et \(\frac{{3 + i\sqrt 7 }}{2}\) 0,75pt
1.b Déterminons les module de chaque racine de cette équation
\(\left| {\frac{{3 - i\sqrt 7 }}{2}} \right|\) \( = \) \(\left| {\frac{{3 + i\sqrt 7 }}{2}} \right|\) \( = 2\) 0,5pt
2.a ) Démontrons que z est une racine de E
Comme 0=bar{(A,4) ; (B,-3) ; (C,1)}, on a
\(\frac{{4 \times 1 - 3 \times z + 1 \times {z^2}}}{{4 - 3 + 1}}\) \( = 0\)
Donc \({4 - 3z}\) \({ + {z^2} = 0}\), par conséquent, z est solution de (E) 0,5pt
2.b) Déduisons les coordonnées de B et de C
Puisque z est solution de (E) et \({\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) \succ 0\), \(z = \) \(\frac{{3 + i\sqrt 7 }}{2}\), alors \({z^2} = \) \(\frac{{1 + 3i\sqrt 7 }}{2}\)
Donc B a pour coordonnées \(\left( {\frac{3}{2},\frac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)\) et C a pour coordonnées \(\left( {\frac{1}{2},\frac{{3\sqrt 7 }}{2}} \right)\) 0,5 pt
3.a) Précisons suivant les valeurs de k l’ensemble \(\left( \Gamma \right)\) des points M du plan tels que \(4M{A^2} - \) \(3M{B^2} + \) \(M{C^2} = k\)
Soit M un point du plan
\(M \in \left( \Gamma \right)\) \( \Leftrightarrow 4M{A^2}\) \( - 3M{B^2}\) \( + M{C^2}\) \( = k\)
\( \Leftrightarrow 2O{M^2}\) \( + 4O{A^2}\) \( - 3O{B^2}\) \( + O{C^2}\) \( = k\)
OA=1, OB=2, OC=4 et \(4O{A^2} - \) \(3O{B^2} + \) \(O{C^2} = 8\)
Donc \(M \in \left( \Gamma \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(O{M^2} = \) \(\frac{{k - 8}}{2}\)
• Si \(k \prec 8\) alors \(\left( \Gamma \right) = \phi \)
• Si k=8, alors \(\left( \Gamma \right) = \{ 0\} \)
• Si \(k \succ 8\) alors \(\left( \Gamma \right)\) est le cercle de centre O et de rayon \(\sqrt {\frac{{k - 8}}{2}} \) 1pt
3.b) k=89, Donnons alors une equation catesiene de \(\left( \Gamma \right)\), puis tracons \(\left( \Gamma \right)\) :
Puisque \(89 \succ 8\), \(\left( \Gamma \right)\) est cerce de centre O et de rayon \(\frac{9}{{\sqrt 2 }}\).
Une équation cartésienne de \(\left( \Gamma \right)\) est donc \({x^2} + {y^2}\) \( = \frac{{81}}{2}\) 0,75pt

Partie B
1.a) Dressons le tableau de variation de g :
g est définie sur \(\mathbb{R}\) :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x)\) \( = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \) \(g(x) = 1\)
g est derivable sur \(\mathbb{R}\) et pour \(x \in \mathbb{R}\),
\(g'(x)\) \( = 2{e^{ - 2x}}\) \((2x - 2)\)
\(g'(x)\) s’annule en 1, est négative sur \(\left] { - \infty ;1} \right[\) et positive sur \(\left] {1; + \infty } \right[\)
\(g(1) = \) \(1 - {e^{ - 2}}\)
Le tableau de variation est donc le suivant
tableau de variation tc1.b) Déduisons le signe de g(x) suivant les valeurs de x
\(g(1) = \) \(1 - {e^{ - 2}}\) est le minimum de g sur \(\mathbb{R}\), par suite, pour tout réel x, \(g(x) \ge \) \(g(1) \succ 0\) 0,25pt
2.a) Calculons les limites de f en \( - \infty \) et \( + \infty \) en puis la dérivée de f
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \) \(f(x) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \) \(f(x) = + \infty \)
Pour tout réel x, \(f'(x) = \) \(g(x)\) 0,75 pt
2.b) Dressons le tableau de variation de f
Puis que \(f'(x) = \) \(g(x)\) pour tout x, f est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)
Le tableau de variation de f est donc le suivant 0,5pt
tableau de variation tc f3.a Calcule de \(f(\ln 2)\)
\(f(\ln 2)\) \( = 0\) 0,25pt
3.b ) Déduisons que (D) d’équation
\(y = x\) \( - \frac{5}{4}\ln 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \) \((f(x) - \) \((x - \frac{5}{4}\ln 2)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x{e^{ - 2x}}\) \( = - \infty \) 0,25 pt
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x)\) \( - (x - \frac{5}{4}\ln 2)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x{e^{ - 2x}}\) \( = 0\) 0,25 pt
Donc la droite (D) est une asymptote oblique à la courbe (Cf) en \({ + \infty }\)
• Etude des positions relations de la courbe (Cf) par rapport à la droite (D)
Soit le réel x, \(f(x) - (x\) \( - \frac{5}{4}\ln 2)\)= \(x{e^{ - 2x}}\), l’expression \(x{e^{ - 2x}}\) a le signe de x
Donc la courbe (Cf) coupe la droite (D) au point d’abscisses 0 ; est en dessous de (D) dans le demi-plan (\(x \prec 0\) ) et est au-dessus de (D) dans le demi-plan (\(x \succ 0\)) 0,5 pt
• Traçons la courbe (D) et (Cf) 075 ptfocfioncf4.a) Déterminons la forme générale des solutions de (E’)
L’équation caractéristique associée à (E’) est : \({r^2} + \) \(4r + 4\) \( = 0\) ; elle a pour solution double -2. La forme générale des solutions de (E’) est :
\(x \mapsto \) \((Ax + B)\) \({e^{ - x}}\) à A et B sont des réels indépendants de x 0,5pt
4.b) Déterminons la solution de (E’) dont la courbe admet une tangente en O parallèle à la droite d’équation \(y = \) \(x + 1\)
Cette solution est de la forme \(x \mapsto \) \((Ax + B)\) \({e^{ - x}}\) ; sa dérivée est :
\(x \mapsto \) \(A{e^{ - 2x}} - \) \(2(Ax + \) \(B){e^{ - x}}\) \( = ( - 2Ax + \) \(A - 2B)\) \({e^{ - 2x}}\)
Comme sa courbe passe par O, on a B=0 et puisque la tangente à sa courbe en O est parallèle à la droite d’équation \(y = \) \(x + 1\), A-2B=1 et ainsi A=1
La solution de (E’) recherchée est donc \(y = \) \(x{e^{ - 2x}}\) 0,5pt
4.c ) Démontrons que f est une solution de l’équation différentielle
\(y'' + \) \(4y' + \) \(4y = \) \(4x - \) \(5\ln 2 + 4\)
Soit un x réel on montre que \(f'' + \) \(4f' + \) \(4f = \) \(4x - \) \(5\ln 2 + 4\) 0,5pt
5.a) En utilisant une intégration par partie, calculons, en cm2, l’aire de (Dλ) en fonction de λ
L’aire (Dλ) est \(( - 2\lambda - \) \(1){e^{ - 2\lambda }}\) \( + 1)c{m^2}\)
5.b) Calculons la limite de cette aire lorsque \(\lambda \to + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to + \infty } ( - 2\lambda \) \( - 1){e^{ - 2\lambda }}\) \( + 1) = 1c{m^2}\) 0,5 pt