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Baccalauréat
Mathématique
D & TI
2020
Enoncés
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Exercice (5 points)
1. Déterminer les racines carrées du nombre complexe : \(3 + 4i\). 0,5pt
2. On considère dans C l'équation (E) : \({z^3} - (5 + 3i){z^2}\) \( + (5 + 8i)z\) \( - 1 - 5i = 0\)
a. Montrer que l'équation (E) admet une unique racine réelle \({z_0}\) que l’on déterminera. 0,5 pt
b. Résoudre dans C l’équation (E). 1 pt
3. Dans le plan affine euclidien, on considère le triangle ABC rectangle et isocèle en A tel que : AB = AC = a (avec a >0.)
a. Déterminer et construire le barycentre G des points pondérés (A, 4) ;(B; -1)et (c ; -1) 0,5 pt
b. Déterminer l'ensemble (E1) des points M du plan tels que : \(4M{A^2} - M{B^2}\) \( - M{C^2} = 2{a^2}\) 1,5 pt
(On ne demande pas la construction de l'ensemble (E1))
4. Le plan affine est muni d’un repère orthonormé direct \(\left( {O;\vec i,\vec j} \right)\), on considère les points A(l; 0),B(l; -3) et C(-2; 0).
a. Déterminer la forme complexe de la similitude directe S de centre A, qui transforme B en C. 0,5pt
b. Déduire les éléments caractéristiques de S. 0,5pt

Exercice 2 (4 points)
1. Un atelier comporte deux machines M1 et M2 fonctionnant de manière indépendante. Les probabilités de défaillance de chacune de ces machines sont respectivement 0,02 pour M1 et 0,03 pour M2.
On considère les événements suivants :
A : « la machine M1 est défaillante »
B : « la machine M3 est défaillante »
Déterminer les probabilités :
a. P1 d’avoir les deux machines défaillantes. 0,75 pt
b. P2 d'avoir une seule machine défaillante. 0,75 pt
Il. L'on a étudié au cours d’un certain nombre d’années le capital de cet atelier en milliards de francs CFA et ses dépenses en publicité en millions. On obtient le tableau ci-dessous :

Capital (\(x_i\)) 13 9 10 15 18 11 6
Dépenses en publicités (\(y_i\)) 2,5 1,7 1,9 2,8 1,53 2,1 1,1

a. Représenter le nuage de points associé à cette série dans un repère orthogonal. 1 pt
b. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. 0,5 pt
c. Déterminer la covariance de x et y notée cov(xy). 1 pt

Problème (l1 points)
La partie C est indépendante des autres parties.

Partie A : (5,5 points)
f est une fonction numérique de la variable réelle x définie par \(f(x) = \) \(\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\)
1. Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation. 2 pts
2. Déterminer les asymptotes de la courbe (C) de f. 0,5 pt
3- Montrer que le point I(l; -l) de rencontre des asymptotes est centre de symétrie de (C ). 1 pt
4. a. Tracer (C) dans un repère orthonormé \(\left( {O;\vec i,\vec j} \right)\), (unité sur les axes : 1cm). 1 pt
b. Calculer l’aire du domaine plan limité par (C), les droites d’équations \(y = x - 2\) , \(x = - 1\) et l'axe des ordonnées. 1 pt

Partie B : (2,5points)
\({\left( {{U_n}} \right)_{n \in N}}\) est une suite numérique définie par :
\(\left\{ \begin{array}{l}{U_0} = 10\\{U_{n + 1}} = f\left( {{U_n}} \right)\end{array} \right.\)
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, \({{U_n} \ge 3}\) 1 pt
2. a. Montrer que la suite (Un) est décroissante. 0,5pt
b. (Un) est-elle convergente ? Justifier votre réponse. 0,25pt
3. a. Résoudre dans R l’équation \(f(a) = a\). 0,25pt
b. Trouver la limite de \(\left( {{U_n}} \right)\) quand n tend vers l’infini . 0,5pt

Partie C : (3points)
On considère l’équation différentielle (D) : \(y'' + 2y' + \) \(y = - x - 2\)
1. Déterminer une fonction affine g solution de (D). l pt
2. Montrer qu’une fonction h deux fois dérivable sur R est solution de (D) si et seulement si la fonction \(h - g\) est solution de l’équation différentielle (D’): \(y'' + 2y'\) \( + y = 0\) 0,5pt
3. Résoudre l’équation différentielle (D’) et en déduire la solution h de (D) vérifiant
\(\left\{ \begin{array}{l}h(0) = - 1\\h'(0) = - 1\end{array} \right.\) 1,5 pt