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Probatoire
Mathématique
D & TI
2019
Correction
Bonjour ! Groupe telegram de camerecole, soumettrez-y toutes vos préoccupations. forum telegram

Exercice I / 5 points
1. Dressons le tableau des effectifs de cette série regroupé en classe 1,5 pts

Classes [20,25[ [25,30[ [30,35[ [35,40[ [40,45[ [45;50[
Effectifs 3 8 10 10 7 2

2. Construisons le polygone des effectifs cumulés décroisant 1,5 pt
effectifs3. Détermination graphique et par calculs de la médiane de cette série statistique 1 pt
• Graphiquement (voir graphe)
• Par calcul, on a, par interpolation linéaire, puisque \(20 \in ]19,29[\), on a
\(\frac{{19 - 29}}{{35 - 30}} = \) \(\frac{{19 - 20}}{{35 - Me}} \Rightarrow \) \(Me = 34,5\) ans
4.a) Détermination du nombre de comités possibles
\(C_{40}^4 = \frac{{40!}}{{36!4!}}\) \( = 91390\) comités 0,5 pts
4.b) Déterminons le nombre de comités comportant 2 femmes 0,5 pt
\(C_5^2C_{35}^2 = 5950\) comités

Exercice II / 4 points
ABC est un triangle tel que AB=4, BC=7 et AC=9
1.a) Montrons que 0,75 pt
\(B{C^2} = \) \(A{B^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \( + A{C^2}\)
\(B{C^2} = \) \({(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} )^2} = \) \(B{C^2} = \) \(A{B^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \( + A{C^2}\)
1.b) Déduisons-en la valeur de \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) 0,5 pt
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \) \(\frac{{B{C^2} - A{B^2} - A{C^2}}}{2}\) \( = 24\)
2. Calculons la valeur du \(\cos (\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} )\) 0,75 pt
\(\cos (\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ) = \) \(\frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \) \(\frac{{24}}{{36}} = \frac{2}{3}\)
3.a) Calculons la valeur de \(\cos 3\alpha \) 1 pt
\(\cos 3\alpha = \) \(\cos (2\alpha + \alpha )\) \( = 4{\left( {\cos \alpha } \right)^3}\) \( - 3\cos \alpha = \) \( - \frac{{22}}{{27}}\)
3.b) Résolvons dans \(\left[ {0,2\pi } \right[\) l’équation \(\cos 3x = \frac{2}{3}\) 1 pt
\(\cos 3x = \) \(\cos \alpha \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}3x = \alpha + 2k\pi \\3x = - \alpha + 2k\pi \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\alpha }{3} + \frac{{2k\pi }}{3}\\x = - \frac{\alpha }{3} + \frac{{2k\pi }}{3}\end{array} \right.k \in \mathbb{Z}\)
L’ensemble solution dans \(\left[ {0,2\pi } \right[\) est
\(\{ \frac{\alpha }{3};\frac{\alpha }{3} + \frac{{2\pi }}{3};\) \(\frac{\alpha }{3} + \frac{{4\pi }}{3}; - \frac{\alpha }{3} + \frac{{2\pi }}{3};\) \( - \frac{\alpha }{3} + \frac{{4\pi }}{3};\) \( - \frac{\alpha }{3} + 2\pi \} \)

Problème
Partie A
1. Déterminons l’ensemble de définition de f
\(Df = \) \(\mathbb{R} - \left\{ { - 1} \right\}\)
2. Déterminons le signe de f(x) pour \(x \in \left] { - 1; + \infty } \right[\) 0,25 pt
Pour \(x \in \left] { - 1; + \infty } \right[\)\(f(x) \prec 0\)
3. Déterminons une asymptote à \(\left( {{\xi _f}} \right)\) 0,25 pt
\(\left( {{\xi _f}} \right)\) a pour asymptote verticale la droite d’équation x=-1
4. Déterminons une équation de la tengante a \(\left( {{\xi _f}} \right)\) au point d’abscisse -2 0,5 pt
Une équation de la tengante à \(\left( {{\xi _f}} \right)\) au point d’abscisses -2 est : \(y = \) \(f'( - 2)(x + 2) + \) \(f( - 2)\) cette équation sera alors \(y = 2\)
5.a Montrons qua (a, b, c) est solution du système d’équation \(\left\{ \begin{array}{l}y + z = - 2\\x - z = 0\\2x - y + z = - 2\end{array} \right.\)
D’après le tableau de variation de f, f(0)=-2 ; f’(0)=0 et f(-2)=2 avec
\(f(x) = \) \(ax + b + \) \(\frac{c}{{x + 1}}\) et \(f'(x) = \) \(a + \frac{c}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) on retrouve le système d’équation
5.b Déduisons-en a, b et c 1 pt
\(\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 1\\c = - 1\end{array} \right.\)
6.a Montrons que la droite d’équation y=-x-1 est asymptote à \(\left( {{\xi _f}} \right)\) en \( - \infty \) et \( + \infty \) 0,5x2=1 pt
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\) \( - ( - x - 1) = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 1}} \to 0\) donc y=-x-1 est asymptote à \(\left( {{\xi _f}} \right)\) en \( - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\) \( - ( - x - 1) = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 1}} \to 0\) donc y=-x-1 est asymptote à \(\left( {{\xi _f}} \right)\) en \( + \infty \)
6.b Montrons que le point \(\Omega \left( { - 1,0} \right)\) est centre de symétrie de \(\left( {{\xi _f}} \right)\) 1 pt
Il suffit de vérifier que
\(f( - 1 - x)\) \( + f( - 1 + x)\) \( = 0\)
De ce qui précède, nous pouvons conclure que \(\Omega \left( { - 1,0} \right)\) est centre de symétrie à la courbe 1 pt
6.c Construisons \(\left( {{\xi _f}} \right)\) dans le repère orthonormé \((O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j )\)
fonction 1Partie B
1. Plaçons les points A(0;3), B(-2;-5) et C(3 ;0) 0,75 pt
cercle2. Donnons la nature du triangle ABC 0,5 pt
\(AB = \sqrt {68} \), \(AC = \sqrt {18} \) et \(BC = \sqrt {50} \) soit \(A{B^2} = \) \(A{C^2} + B{C^2}\) et d’après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C
3. Donnons que une équation cartésienne de \(\left( \Gamma \right)\), le cercle circonscrit au triangle ABC
Soit M(x,y) unpoint de \(\left( \Gamma \right)\), \(M \in \left( \Gamma \right)\) \( \Leftrightarrow 2IM = AB\) où I est le milieu de [AB], ainsi \({(x + 1)^2} + \) \({(y + 1)^2} = 17\)
Donc \(\left( \Gamma \right)\) : \({x^2} + {y^2} + \) \(2x + 2y - \) \(15 = 0\) 0,75 pt

Partie C
1. Montrons que \(\left( {{v_n}} \right)\) est une suite arithmétique de raison \(\frac{1}{2}\)
Soit \(n \in \mathbb{N}\),
\({v_{n + 1}} - {v_n}\) \( = \frac{{{u_n} + 1}}{{2{u_n} - 2}} - \) \(\frac{1}{{{u_n} - 1}} = \frac{1}{2}\)
Déterminons son premier terme
\({v_1} = \frac{1}{{{u_1} - 1}}\) \( = 1\)
Donc \(\left( {{v_n}} \right)\) est une suite arithmétique de raison \(\frac{1}{2}\) et de premier terme \({v_1} = 1\) 1 pt
2. Exprimons \(\left( {{v_n}} \right)\) en fonction de n 1 pt
\({v_n} = \) \({v_1} + \frac{1}{2}(n - 1)\) \( = \frac{1}{2}(n + 1)\)
Exprimons \(\left( {{u_n}} \right)\) en fonction de n
\({v_n} = \) \(\frac{1}{{{u_n} - 1}}\) \( \Rightarrow {u_n} = \) \(\frac{{n + 3}}{{n + 1}}\)
Exprimons \(\left( {{S_n}} \right)\) en fonction de n 0,5 pt
\({S_n} = \) \(\frac{{n(n + 3)}}{4}\)


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