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Correction exercice
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#### Correction exercice I

Calculons les intégrales suivantes
a) $$I =$$ $$\int {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt[4]{{{x^3}}} + 1}}} dx$$
I peut aussi se mettre sous la forme $$\int {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{3}{4}}} + 1}}} dx$$
Le dénominateur des fractions $${\frac{3}{4}}$$ et $${\frac{1}{2}}$$ est 4 donc posons $$x = {t^4}$$ $$\Rightarrow dx =$$ $$4{t^3}dt$$
$$I = 4$$ $$\int {\frac{{{t^5}}}{{{t^3} + 1}}} dt =$$ $$4\int {{t^2}dt - \frac{4}{3}}$$ $$\int {\frac{{dt}}{{t + 1}}} + \frac{4}{3}$$ $$\int {\frac{{ - 2t + 1}}{{{t^2} - t + 1}}} dt$$

$$I = \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}}$$ $$- \frac{4}{3}Log\left| {\sqrt[4]{{{x^3}}} + 1} \right|$$ $$+ cte$$

b) $$I =$$ $$\int {\frac{{\sqrt {{x^3}} - \sqrt[3]{x}}}{{6\sqrt[4]{x}}}} dx$$
Le dénominateur des fractions $${^{\frac{3}{4}}}$$, $${\frac{1}{3}}$$ et $${\frac{1}{4}}$$ est 12
$$I =$$ $$\int {\frac{{\sqrt {{x^3}} - \sqrt[3]{x}}}{{6\sqrt[4]{x}}}} dx$$ $$=$$ $$\int {\frac{{{x^{\frac{3}{2}}} - {x^{\frac{1}{3}}}}}{{6{x^{\frac{1}{4}}}}}} dx$$
$$x = {t^{12}} \Rightarrow$$ $$dx = 12{t^{11}}dx$$
$$I =$$ $$\int {\frac{{{x^{\frac{3}{2}}} - {x^{\frac{1}{3}}}}}{{6{x^{\frac{1}{4}}}}}} dx$$ $$= 2\int {\frac{{{t^{18}} - {t^4}}}{{{t^3}}}}$$ $${t^{11}}dt = 2$$ $$\int {({t^{26}} - {t^{12}})} dt$$ $$= \frac{2}{{27}}{t^{27}} -$$ $$\frac{2}{{13}}{t^{13}} + cte$$

$$I = \frac{2}{{27}}{x^{\frac{9}{4}}}$$ $$- \frac{2}{{13}}{x^{\frac{{13}}{{12}}}} + cte$$ $$= \frac{2}{{27}}\sqrt[4]{{{x^9}}}$$ $$- \frac{2}{{13}}\sqrt[{12}]{{{x^{13}}}} + cte$$

c) $$I = - \frac{6}{{\sqrt[6]{x}}} +$$ $$\frac{{12}}{{\sqrt[{12}]{x}}} + 2Log\left( x \right)$$ $$- 24$$ $$Log\left( {\sqrt[{12}]{x} + 1} \right)$$ $$+ cte$$

d) $$I = \frac{6}{5}\sqrt[6]{{{x^5}}}$$ $$- \frac{3}{2}\sqrt[6]{{{x^4}}} +$$ $$4\sqrt[6]{{{x^3}}} +$$ $$6\sqrt[6]{x} -$$ $$9Log\left( {\sqrt[6]{x} + 1} \right)$$ $$+ \frac{3}{2}Log\left( {\sqrt[6]{{{x^2}}} + 1} \right)$$ $$+ 3\arctan \left( {\sqrt[6]{x}} \right)$$ $$+ cte$$

e) Posons $${u^2} = \frac{{1 - x}}{{1 + x}}$$ on trouvera
$$I = Log\frac{{u - 1}}{{u + 1}}$$ $$- \frac{1}{{{u^2} - 1}} =$$ $$Log$$ $$\left| {\frac{{\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} }}{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {x + 1} }}} \right|$$ $$- \frac{{\sqrt {1 + x} }}{x} + cte$$

f ) $$I =$$ $$\sqrt {3{x^2} - 7x - 6}$$ $$+ \frac{{11}}{{2\sqrt 3 }}Log$$ $$\left| {x - \frac{7}{2} + \sqrt {{x^2} - \frac{7}{3}x - 2} } \right|$$ $$+ cte$$