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I. Définition

On dit que la fonction \(F\) est une primitive de la fonction \({f(x)}\) sur le segment [a, b] si en tout point de ce segment on a l'égalité \(F'(x) = f(x)\)

Exemple : \({\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)}' = {x^3}\) donc \({\frac{{{x^4}}}{4} + cte}\) est la primitive de \({x^3}\) avec cte une constance car la dérivée d’une constance est nulle.

Théorème
Si \({F_1}(x)\) et \({F_2}(x)\) sont deux primitives de la fonction \(f(x)\) sur le segment [a,b], leur différence est une constante. C’est-a-dire
\({F_2}(x) - \) \({F_1}(x) = cte\)

On appelle intégrale indéfinie de la fonction \({f(x)}\) et on note \(\int {f(x)dx} \) toute expression de la forme \(F(x) + cte\) où \(F(x)\) est une primitive de \({f(x)}\).
Ainsi, l'intégrale indéfinie représente une famille de fonctions \(y = F(x) + cte\).

II. Tableau des primitives usuelles

  Fonctions Primitives
1 \({x^m}\) \(\frac{{{x^{m+1}}}}{{m + 1}} + cte\) avec \({m + 1 \ne 0}\)
2 \(\frac{1}{x}\) \(Log\left| x \right| + cte\)
3 \(\frac{{{1}}}{{{x^2} + {a^2}}}\) \(\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}\) \( + cte\)
4 \(\frac{1}{{{a^2} - {x^2}}}\) \(\frac{1}{a}argth\frac{x}{a}\) \( + cte\) avec \(\left| x \right| \prec a\) ou \(\frac{1}{{2a}}Log\left| {\frac{{a + x}}{{a - x}}} \right|\) \( + cte\), \(\forall x\)
5 \(\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\) \(\arcsin \frac{x}{{\left| a \right|}} + cte\) ou \( - \arccos \frac{x}{{\left| a \right|}} + cte\)
6 \(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + h} }}\) \(Log\left| {x + \sqrt {{x^2} + h} } \right|\) \( + cte\) ou \(argth\frac{x}{{\left| a \right|}} + cte\) si \(h = - {a^2}\) ou \(argsh\frac{x}{{\left| a \right|}} + cte\) si \(h = + {a^2}\)
7 \({a^x}\), \(a \succ 0\)
\(\frac{{{a^x}}}{{Loga}} + cte\)
8 \(\cos x\) \(\sin x + cte\)
9 \(\sin x\) \( - \cos x + cte\)
10 \( - \cos x + cte\) \(\tan x + cte\)
11 \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) \( - cotan x + cte\)
12 \(\tan x\) \( - Log\left| {\cos x} \right|\) \( + cte\)
13 \(cotan x\) \(Log\left| {\sin x} \right| + cte\)
14 \(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} \pm {a^2}} }}\) \(Log\left| {x + \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} } \right|\) \( + cte\)
15 \(Logx\) \(xLogx - x\) + cte
16 \(\sec x = \frac{1}{{\cos x}}\) \(Log\left| {\sec x + \tan x} \right|\) + cte