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I Définition

Soit Z un nombre complexe de module 1 et d’argument \(\theta \). On appelle formule de Moivre toute écriture de \(Z\) se ramenant sous la forme \({Z^n} = \) \(\cos \left( {n\theta } \right) + \) \(i\sin \left( {n\theta } \right)\) avec \(\left( {n \in N} \right)\)

II. Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est une méthode très pratique utilisée pour le développement des identités telles que :
• \({\left( {a + b} \right)^n}\)
• \({\left( {a - b} \right)^n}\)
Elle se présente comme suit :

triangle de pascal
triangle de pascal 2

III Application de la formule de Moivre

\(\left\{ \begin{array}{l}Z = \cos \theta + i\sin \theta \\\overline Z = \cos \theta - i\sin \theta
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}{Z^n} = \cos n\theta + i\sin n\theta \\{\overline Z ^n} = \cos n\theta - i\sin n\theta \end{array} \right.\)
Soit
\(\left\{ \begin{array}{l}\cos n\theta = \frac{{{Z^n} + {{\overline Z }^n}}}{2}\\\sin n\theta = \frac{{{Z^n} - {{\overline Z }^n}}}{2}\end{array} \right.\)

\({{Z^n} \times {{\overline Z }^n} = 1}\)

III La linéarisation d’une fonction

La linéarisation d’une fonction est une procédure pour approcher une fonction par une fonction linéaire.
Linéariser par exemple une fonction de la forme \({\cos ^n}\theta \) ou \({\sin ^n}\theta \), c’est l’écrire comme fonction de \({\cos ^n}\theta = \) \(f(\cos k\theta )\) ou \({\sin ^n}\theta = \) \(f(\sin k\theta )\) avec \(k \in N\) pour cela, on utilise soit la formule de Moivre soit la formule d’Euler

III.1 La formule de Moivre

Elle est donnée par :
• \({\cos ^n}\theta = \) \(\frac{{{{\left( {Z + \overline Z } \right)}^n}}}{2}\)
• \({\sin ^n}\theta = \) \(\frac{{{{\left( {Z - \overline Z } \right)}^n}}}{2}\)

Pour tout \(Z \ne 0\), et \(n \in \) \( \mathbb{Z}\) on a : \(\arg \left( {{Z^n}} \right)\) \( = n \times \arg \left( Z \right)\)
Pour \(\theta \in \) \( \mathbb{R}\) et \(n \in \) \( \mathbb{Z}\) on a : \({\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)^n}\) \( = \cos n\theta + i\sin n\theta \)

III.2 La formule d’Euler

Elle est donnée par :
• \({\cos ^n}\theta = \) \(\frac{{{{\left( {{e^{i\theta }} + {e^{ - i\theta }}} \right)}^n}}}{2}\)
• \({\sin ^n}\theta = \) \(\frac{{{{\left( {{e^{i\theta }} - {e^{ - i\theta }}} \right)}^n}}}{2}\)

III.3 La formule du binôme de Newton

Soit à développer \({\left( {x + a} \right)^n}\), on peut utiliser la formule du binôme de Newton qui est la suivante
\({\left( {x + a} \right)^n} = \) \(C_n^0{a^0}{x^n} + \) \(C_n^1{a^1}{x^{n - 1}} + \) \(C_n^2{a^2}{x^{n - 2}} + ... + \) \(C_n^2{a^2}{x^{n - 2}} + ... + \) \(C_n^n{a^n}{x^0}\)

\({\left( {a + b} \right)^n} = \) \(\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^k}{b^{n - k}}\)

Pour Linéariser \({\cos ^n}\theta \) ou \({\sin ^n}\theta \) ; on peut utiliser le procédé suivant, mettant en jeu les formules (d'Euler ou de Moivre) et du (binôme de Newton ou du triangle de Pascal).

Méthode

a) Développer et réduire :
• \({\cos ^n}\theta = \) \(\frac{{{{\left( {Z + \overline Z } \right)}^n}}}{2}\)
• \({\sin ^n}\theta = \) \(\frac{{{{\left( {Z - \overline Z } \right)}^n}}}{2}\)
Ou
• \({\cos ^n}\theta = \) \(\frac{{{{\left( {{e^{i\theta }} + {e^{ - i\theta }}} \right)}^n}}}{2}\)
• \({\sin ^n}\theta = \) \(\frac{{{{\left( {{e^{i\theta }} - {e^{ - i\theta }}} \right)}^n}}}{2}\)

b) Regrouper deux à deux les termes d'exposants opposés et exprimer chacun deux en fonction des termes de la forme \(\cos k\theta \) et \(\sin k\theta \)