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I. Module :

Dans le plan rapporté à un repère \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\); plaçons le point M de Z dont l'affixe est \(Z = a + ib\) \( \Rightarrow M\left( \begin{array}{l}a\\b\end{array} \right)\)
module nombre complexe\(\left\| {\overrightarrow {OM} } \right\| = \) \(d(OM) = \) \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

I.1 Définition

Soit \(Z = a + ib\) un nombre complexe. On appelle module de Z, le nombre réel positif ou nul noté : \(\left| Z \right|\) tel que \(\left| Z \right| = \) \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Si M est le point image de Z alors \(\left| Z \right| = \) \(d(OM) = \) \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

I.2 Propriétés

P.1 \(\left| Z \right|\) est toujours positif

P.2 \(\left| {Z \times Z'} \right|\) \( = \left| Z \right| \times \left| {Z'} \right|\)

P.3 \(\left| Z \right| = \left| {\overline Z } \right|\)

P.4 \(\left| Z \right| = 0\) \( \Rightarrow Z = 0\)

P.5 \(\left| {Z + Z'} \right|\) \( \le \left| Z \right| + \left| {Z'} \right|\) Inégalité triangulaire

P.6 \(\left| {\frac{Z}{{Z'}}} \right| = \) \(\frac{{\left| Z \right|}}{{\left| {Z'} \right|}}\) avec \(Z' \ne 0\)

P.7 \(\left| {\frac{a}{{Z'}}} \right| = \) \(\frac{a}{{\left| {Z'} \right|}}\) avec \(Z' \ne 0\) et \(a \in R\)

P.8 \(\left| {{Z^n}} \right| = \) \({\left| Z \right|^n}\) avec \(n \in N\)

II. Argument 

II.1 Définition

En observant la figure précédente, représentant un triangle rectangle d’angle \(\theta \), on a :
\(\cos \theta = \) \(\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
\(\sin \theta = \) \(\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Soit Z est un nombre complexe de module \(\left| Z \right|\) ( avec \(\left| Z \right| \ne 0\)). On appelle argument de Z, le nombre réel noté \(\theta \) ou \(\arg (Z)\) tel que :

\(\left\{ \begin{array}{l}\cos \theta = \frac{a}{{\left| Z \right|}}\\\sin \theta = \frac{b}{{\left| Z \right|}} \end{array} \right.\)

Le cercle de référence trigonométrique et le tableau des angles trigonométriques sont nécessaires à connaître pour le calcul des arguments
cercle trigonometrique

II.2 Propriétés

Soient Z et Z’ deux nombres complexes d’arguments respectifs \(\arg (Z)\) et \(\arg (Z’)\)

P.1 \(\arg (Z \times Z') = \) \(\arg (Z) + \) \(\arg (Z')\)

P.2 \(\arg (\frac{Z}{{Z'}}) = \) \(\arg (Z) - \) \(\arg (Z')\)

P.3 \(\arg ({Z^n}) = \) \(n.\arg (Z)\)

P.4 \(\arg (\overline Z ) = \) \( - \arg (Z)\)

P.5 \(\arg (\frac{a}{Z}) = \) \( - \arg (Z)\) avec \(Z \ne 0\)