Terminale C : Evaluation des compétences mathématique baccalauréat blanc diocèse

Situation
Dans le cadre du club scientifique, les élèves des classes de terminales scientifiques veulent modéliser les trois phénomènes suivants pour résoudre des problèmes de
la vie courante y relatifs :
Évolution d'une population :
La population du Cameroun était de 20 millions d'habitants en 2015 et de 22 millions d'habitants en 2020. On suppose que la vitesse d'accroissement de la
population est proportionnelle au nombre d'habitants.
Culture microbienne :
Dans une culture de microbes qui se développent, la vitesse d'accroissement à l'instant t est proportionnelle à la quantité de microbes à cet instant. Il y a \({10^5}\)
microbes au bout de 2 heures et  \(5 \times {10^5}\) microbes au bout de 6 heures.
Taux de glycémie :
Après une injection intraveineuse de glucose, la glycémie (taux de glucose dans le sang) décroît à partir d'un certain instant choisi comme origine des temps, selon la
loi : \(g' + kg = 0\), où g désigne la fonction glycémique dépendant du temps t en minutes \(\left( {t \ge 0} \right)\) et k une constante strictement positive appelée coefficient d'assimilation glucidique. MOUSSA reçoit une injection intraveineuse de glucose. Il a un taux de glycémie \({g_1} = 1,20\) à l'instant  \({t_1} = 30\) et un taux de glycémie \({g_2} = 1,10\) au bout de 2
heures.
Tâches :
1. En quelle année la population du Cameroun atteindra 50 millions d'habitants ? 1,5 pt
2. Combien y avait-il initialement de microbes dans cette culture ? 1 5 pt
3. Quel est le taux de glycémie de MOUSSA au bout de 3 heures ? 1.5 pt
 Épreuve proposée par Gauss KENNE sur le forum telegram de camerecole

Tâche 1
La vitesse d’accroissement quinquennale (tous les cinq ans) de la population camerounaise
est de \(\frac{{22 - 20}}{{20}} = 0,1\)En posant \({P_0}= 20\) millions d’habitants en 2015 : année 0\({P_1} ={P_0} + \) \(0,1{P_0} = 22\) millions d’habitants en \(2015 + 1 \times 5\) \( = 2020\)\({P_2} ={\left( {1,1} \right)^2}{P_0}\) millions d’habitants en \(2015 + 2 \times 5\) \( = 2025\) et par conjecture \({P_n} = {\left( {1,1} \right)^n}{P_0}\) en \(2015 + n \times 5\)Donc en \(2050= 2015\) \( + 5n\) soit \(n = 7\) quinquennaux après 2015, la population camerounaise sera de \({P_7} = {\left( {1,1} \right)^7}{P_0}\) \( = {\left( {1,1} \right)^7}20000000\) \( = 38974342\) habitants.
Tâche 2 ·    
 Soit \(N(2) = {10^5}\) le nombre de microbes au bout de 2 heures de culture·Soit \(N(6) = 5 \times {10^5}\) le nombre de microbes au bout de 6 heures de culture La vitesse d’accroissement\(y’(t)\) de la quantité de microbes est proportionnelle au nombre de microbes \(y(t)\), ainsi \(y'(t) = ky(t)\) avec k la constance de proportionnalité. La résolution de cette équation différentielle nous permet d’avoir \(y(t) = \) \({y_0}\exp (kt)\)
Des conditions précédentes, nous avons le système d’équations d’inconnues \({y_0}\) et k suivant :\(y(2) ={y_0}\exp (2k)\) \( \Rightarrow {10^5} = \) \({y_0}\exp (2k)\) \(y(6) = {y_0}\exp (6k)\) \(\Rightarrow 5 \times {10^5} = \) \({y_0}\exp (6k)\) La résolution de ce système nous permet d’avoir \(\left\{ \begin{array}{l}k = 0.4\\{y_0} = 60653\end{array} \right.\) 
Tâche 3
Déterminons le taux de glycémie du patient Moussa au bout de 3 heures De l’équation\(g'(t) + kg(t)\) \( = 0\) nous avons \(k = 0,97 \times {10^{ - 3}}\) et \({g_0} = 1,23\) ainsi : \(g(t) = \) \(1,23\exp (kt)\) soit \(g(3) = \) \(1,23\exp(3k) = \) \(1,03\)
Correction proposée par le professeur de mathématique, administrateur principal du forum telegram camerecole Monsieur Henri BOUCATCHOU: