Étude des nombres complexes et propriétés géométriques d'un triangle équilatéral

Énoncé
a. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation $(E)$ :
$z^2 + 2iz - 5 = 0$
On note $z_1$ la solution de $(E)$ dont la partie réelle est strictement négative et $z_2$ l'autre solution. Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{e_1}, \vec{e_2})$.
b. Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $(2\sqrt{3} - 1)i$, $z_1$ et $z_2$.
a. Démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral.
b. Construire le point $G$, isobarycentre des points $A$, $B$ et $C$ ; puis calculer $AG$.
Déterminer puis tracer l'ensemble $\Gamma$ des points du plan tels que :
$MA^2 + MB^2 + MC^2 = 32$

Exercice 1 : Nombres complexes et Géométrie
1. a. Résolution de l'équation $(E) : z^2 + 2iz - 5 = 0$
$a = 1, b = 2i, c = -5$
$\Delta = b^2 - 4ac = (2i)^2 - 4(1)(-5) = -4 + 20 = 16$
Les racines de $\Delta$ sont $4$ et $-4$.
$z = \frac{-2i \pm 4}{2} = -i \pm 2$
Soit $z_A = 2 - i$ et $z_B = -2 - i$.
On note $z_1$ la solution avec la partie réelle strictement négative :
$z_1 = -2 - i$
$z_2 = 2 - i$
1. b. Points A, B et C
Affixes respectives :
$z_A = (2\sqrt{3} - 1)i$
$z_B = -2 - i$
$z_C = 2 - i$
2. a. Nature du triangle ABC
Calcul des distances :
$BC = |z_C - z_B| = |2 - i - (-2 - i)| = |4| = 4$
$AB = |z_B - z_A| = |-2 - i - (2\sqrt{3}i - i)| = |-2 - 2\sqrt{3}i| = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$
$AC = |z_C - z_A| = |2 - i - (2\sqrt{3}i - i)| = |2 - 2\sqrt{3}i| = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$
$AB = BC = AC = 4$, donc le triangle ABC est équilatéral.
2. b. Isobarycentre G et distance AG
$z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3} = \frac{(2\sqrt{3}-1)i + (-2-i) + (2-i)}{3} = \frac{2\sqrt{3}i - 3i}{3} = (\frac{2\sqrt{3}}{3} - 1)i$
Calcul de $AG$ :
$AG = |z_G - z_A| = |(\frac{2\sqrt{3}}{3} - 1)i - (2\sqrt{3} - 1)i| = |(\frac{2\sqrt{3}}{3} - 2\sqrt{3})i| = |-\frac{4\sqrt{3}}{3}i| = \frac{4\sqrt{3}}{3}$
3. Ensemble $\Gamma$ tel que $MA^2 + MB^2 + MC^2 = 32$
D'après le théorème de réduction de Leibniz :
$MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2$
Puisque $G$ est le centre du triangle équilatéral, $GA = GB = GC = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
D'où $GA^2 = GB^2 = GC^2 = \frac{16 \times 3}{9} = \frac{16}{3}$.
La constante est $GA^2 + GB^2 + GC^2 = 3 \times \frac{16}{3} = 16$.
L'équation devient :
$3MG^2 + 16 = 32$
$3MG^2 = 16 \implies MG^2 = \frac{16}{3} \implies MG = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$
L'ensemble $\Gamma$ est le cercle de centre G et de rayon $R = \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle car $R = AG$.