Étude cinétique de la décomposition catalysée du peroxyde d'hydrogène

**Partie : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES / 16 points**

Un Centre de santé de la place reçoit un don d'un carton de flacons de peroxyde d'hydrogène communément appelé eau oxygénée. En observant de plus près les flacons, le responsable du Centre de santé constate que les flacons ne sont pas hermétiquement fermés et de ce fait, la décomposition de l'eau oxygénée s'est produite ; ce qui impacte sur l'efficacité de cette eau oxygénée lors des soins à effectuer. Il se demande s'ils sont encore utilisables. Alors, il confie l'un des flacons au laborantin pour une étude cinétique de la décomposition de l'eau oxygénée en présence d'ions $Fe^{3+}$. À $10\text{ cm}^3$ d'eau oxygénée, il ajoute quelques gouttes d'une solution d'ions $Fe^{3+}$ et déclenche le chronomètre. À la date $t$, il ajoute $5\text{ cm}^3$ d'acide sulfurique pour stopper immédiatement la réaction et il dose alors l'eau oxygénée restante dans le mélange à l'aide d'une solution centimolaire de permanganate de potassium. À des instants $t$ divers, il lui faut verser un volume $V$ de solution de permanganate de potassium pour que le mélange vire au rose.

| $t(\text{min})$ | 2 | 4 | 6 | 10 | 15 | 20 | 25 |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $V(\text{cm}^3)$ | 21 | 19 | 17,2 | 14,1 | 11 | 8,5 | 6,7 |

- Réaction de décomposition de l'eau oxygénée : $2H_2O_2 \rightarrow 2H_2O + O_2$
- Sur l'étiquette du flacon, on lit :
«$H_2O_2$ à $2\%$ ; $C = 5,8 \cdot 10^{-2}\text{ mol/L}$ ; masse molaire : $34\text{ g/mol}$ ; densité : $1,01\text{ g/mL}$»

Le laborantin hésite quant à la démarche à adopter pour tirer une conclusion satisfaisante. Il s'interroge :

- L'étude de la quantité d'eau oxygénée restante à chaque instant $t$ peut-elle suffire ?
- Devrait-il utilise la vitesse moyenne de la décomposition de l'eau oxygénée entre 2 instants ?
- Devrait-il comparer le temps de demi-réaction de cette décomposition d'eau oxygénée à celui de la décomposition d'une eau oxygénée qu'il voit sur le moment dans une revue scientifique ? Il y lit : temps de demi-réaction décomposition catalysée eau oxygénée à $1\text{ mol/L}$ : $12\text{ minutes}$.

Examine chacune de ses propositions et à l'aide d'un raisonnement scientifique, aide le laborantin à construire son raisonnement et à se décider quant à la démarche à adopter.

PROPOSITION DE CORRECTION : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES
1. Analyse des données de l'étiquette
L'étiquette indique une concentration théorique $C_{th} = 5,8 \cdot 10^{-2} \text{ mol/L}$[cite: 8]. Vérifions la cohérence avec le pourcentage massique ($2\%$) :

• Masse de $H_2O_2$ dans $1 \text{ L}$ ($1010 \text{ g}$) : $m = 1010 \cdot 0,02 = 20,2 \text{ g}$.
• Concentration molaire correspondante : $C = \frac{m}{M} = \frac{20,2}{34} \approx 0,59 \text{ mol/L}$.

Note : Il semble y avoir une incohérence entre le pourcentage ($2\%$) et la valeur de $C$ ($5,8 \cdot 10^{-2}$) sur l'étiquette. Nous utiliserons la valeur de $C$ fournie pour la suite.
2. Exploitation des résultats du dosage
L'équation du dosage par le permanganate en milieu acide est :
$2MnO_4^- + 5H_2O_2 + 6H^+ \rightarrow 2Mn^{2+} + 5O_2 + 8H_2O$
À l'équivalence : $\frac{n(H_2O_2)_{restant}}{5} = \frac{n(MnO_4^-)}{2}$
D'où : $n(H_2O_2)_t = \frac{5}{2} \cdot C_{red} \cdot V = \frac{5}{2} \cdot 10^{-2} \cdot V = 2,5 \cdot 10^{-2} \cdot V$ (avec $V$ en Litres). 
3. Examen des propositions du laborantin
L'étude de la quantité restante seule :** Elle permet de voir que la concentration diminue, mais elle ne permet pas de conclure sur la "vitesse" ou la conformité globale sans point de comparaison cinétique. 
* **La vitesse moyenne entre deux instants :** Elle donne une idée de la rapidité de décomposition, mais la vitesse instantanée varie. Ce n'est pas l'indicateur le plus stable pour comparer avec des normes standards. 
* **La comparaison du temps de demi-réaction ($t_{1/2}$) :** C'est la méthode la plus fiable. Le $t_{1/2}$ est une caractéristique intrinsèque d'une réaction pour une température et un catalyseur donnés.
4. Détermination expérimentale de $t_{1/2}$

• À $t = 0$ (instants très proches du début), le volume de dosage serait $V_0$. Pour $V = 21 \text{ cm}^3$ à $t=2 \text{ min}$, estimons $V_0 \approx 23 \text{ cm}^3$.
• Le temps de demi-réaction $t_{1/2}$ correspond à l'instant où $n(H_2O_2)$ est divisé par 2, ce qui correspond graphiquement à un volume $V \approx \frac{V_0}{2} \approx 11,5 \text{ cm}^3$.
• Dans le tableau, $V = 11 \text{ cm}^3$ pour $t = 15 \text{ min}$. On peut estimer $t_{1/2} \approx 14 \text{ minutes}$. 

5. Conclusion et démarche à adopter
Le laborantin doit :
1. Tracer la courbe $V = f(t)$ ou $[H_2O_2] = f(t)$.
2. Déterminer graphiquement le $t_{1/2}$ expérimental (environ $14 \text{ min}$).
3. Comparer avec la valeur de référence ($12 \text{ min}$).
Puisque le $t_{1/2}$ trouvé ($14 \text{ min}$) est proche mais supérieur à celui de la revue ($12 \text{ min}$), la décomposition est légèrement plus lente (probablement dû à une concentration initiale plus faible ou une température différente). Cependant, comme les flacons étaient ouverts, l'efficacité est compromise.
**Décision :** Ne pas utiliser pour des soins critiques si la concentration réelle actuelle est trop éloignée de la valeur nominale de l'étiquette.