Analyse de fonctions paramétriques et transformations géométriques

**EXERCICE :**

Soit $m$ un nombre réel et $f_m$ la fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$, définie par : $f_m(x) = x + \ln(1 - me^{-x})$. On note $D_m$ l'ensemble de définition de $f_m$ et on désigne par $(C_m)$ sa courbe représentative dans le plan. On désigne par $(D)$ la droite d'équation : $y = x$.

1. Justifie que :
a) Si $m \le 0$, alors $D_m = \mathbb{R}$.
b) Si $m > 0$, alors $D_m = ]\ln(m), +\infty[$.
2. On suppose que $f_m$ est dérivable sur $D_m$ pour tout nombre réel $m$.
a) Justifie que pour tout $x$ de $D_m$, $f_m'(x) = \frac{e^x}{e^x - m}$.
b) Justifie que pour $m \le 0$, $f_m$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
c) Justifie que pour $m > 0$, $f_m$ est strictement croissante sur $]\ln(m), +\infty[$.
3.
a) Démontre que pour tout nombre réel $m$, $f_m$ est une bijection sur $D_m$.
$f_m^{-1}(x) = f_{-m}(x)$.
b) Déduis de la question précédente, une méthode de construction de $(C_{-m})$ dans le même repère.
4. On suppose que $m$ et $p$ sont des nombres réels strictement positifs.
a) Justifie que $(C_p)$ est l'image de $(C_1)$ par la translation $T$ de vecteur $\vec{u}(\ln p; \ln p)$.
b) Détermine la translation $T'$ qui transforme $(C_p)$ en $(C_m)$.

**1. Ensemble de définition $D_m$**
La fonction est définie si $1 - me^{-x} > 0$.
a) Si $m \le 0$, alors $-me^{-x} \ge 0$, donc $1 - me^{-x} \ge 1$. La condition est toujours vraie.
D'où $D_m = \mathbb{R}$.
b) Si $m > 0$, $1 - me^{-x} > 0 \iff 1 > me^{-x} \iff \frac{1}{m} > e^{-x}$.
En prenant le logarithme : $\ln(\frac{1}{m}) > -x \iff -\ln(m) > -x \iff x > \ln(m)$.
D'où $D_m = ]\ln(m), +\infty[$.
**2. Dérivée et Variations**
a) $f_m(x) = x + \ln(1 - me^{-x})$.
$f_m'(x) = 1 + \frac{-m(-e^{-x})}{1 - me^{-x}} = 1 + \frac{me^{-x}}{1 - me^{-x}} = \frac{1 - me^{-x} + me^{-x}}{1 - me^{-x}} = \frac{1}{1 - me^{-x}}$.
En multipliant par $\frac{e^x}{e^x}$ : $f_m'(x) = \frac{e^x}{e^x - m}$.
b) Si $m \le 0$, alors $e^x - m > 0$ pour tout $x$, donc $f_m'(x) > 0$.
$f_m$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
c) Si $m > 0$, sur $D_m$, $x > \ln(m) \implies e^x > m$, donc $e^x - m > 0$.
$f_m$ est strictement croissante sur $]\ln(m), +\infty[$.
**3. Bijection et Réciproque**
a) $f_m$ est continue et strictement croissante sur $D_m$, elle réalise donc une bijection de $D_m$ vers $f(D_m)$.
Cherchons $f_m^{-1}(x)$ :
$y = x + \ln(1 - me^{-x}) \iff y - x = \ln(1 - me^{-x}) \iff e^{y-x} = 1 - me^{-x}$
$e^y \cdot e^{-x} = 1 - me^{-x} \iff e^y = e^x - m \iff e^x = e^y + m$
$x = \ln(e^y + m)$.
Or $f_{-m}(y) = y + \ln(1 - (-m)e^{-y}) = y + \ln(\frac{e^y + m}{e^y}) = \ln(e^y + m)$.
On a bien $f_m^{-1}(x) = f_{-m}(x)$.
b) $(C_{-m})$ est la courbe de la fonction réciproque de $f_m$.
On construit $(C_{-m})$ par symétrie orthogonale de $(C_m)$ par rapport à la droite $(D): y = x$.
**4. Translations**
a) $f_p(x) = x + \ln(1 - pe^{-x})$.
Soit $M(x, y) \in (C_1)$, alors $y = x + \ln(1 - e^{-x})$.
L'image $M'(x', y')$ par $T(\ln p, \ln p)$ donne :
$x' = x + \ln p \implies x = x' - \ln p$
$y' = y + \ln p = (x' - \ln p) + \ln(1 - e^{-(x' - \ln p)}) + \ln p$
$y' = x' + \ln(1 - e^{-x'} \cdot e^{\ln p}) = x' + \ln(1 - pe^{-x'})$.
C'est bien l'équation de $(C_p)$.
b) Pour transformer $(C_p)$ en $(C_m)$, on utilise la translation composée :
$T' = T_m \circ T_p^{-1}$. Le vecteur est $\vec{v}(\ln m - \ln p; \ln m - \ln p)$, soit $\vec{v}(\ln \frac{m}{p}; \ln \frac{m}{p})$.