Exercice I Mouvement dans les champs de forces et leurs applications (7 pts)
Partie A : Solide en mouvement sur une piste(4 pts)
1. Énoncé du théorème du centre d’inertie (IIème loi de Newton )
Dans u référentiel galiléen. La somme vectorielle des forces appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie.
2. Bilan des forces à l’aide du schéma
Les forces appliquee sur le solide sont :
Son poids \(\overrightarrow P \) et la réaction \(\overrightarrow R \) du plan ( avec pour composantes la force de frottements \(\overrightarrow f \) et la réaction normale du plan incliné \(\overrightarrow {{R_N}} \) )
3. Epression de l’acceleration :
Appliquans le theoreme du centre d’inertie au mobile dans e referentiel terrestre :
\(\sum \overrightarrow {{F_{ext}}} = m.\overrightarrow {{a_G}} \)
Soit \(\overrightarrow R + \overrightarrow P = m.\overrightarrow {{a_G}} \)
En projetant cette relation sur un axe parallèle à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement, on obtient :
\(mg\cos \left( \alpha \right) - f\) \( = m.{a_G}\) soit :
\({a_G} = \) \(g\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) \( = 1,9 m.{s^{ - 2}}\)
4. Loi horaire du mouvement.
Le mouvement du solide est rectiligne et uniformément varié
La loi horaire est de la forme :
\(x(t) = \) \(\frac{1}{2}{a_G}{t^2} + {v_A}t + {x_A}\)
Avec \({x_A} = 0\), nous avons :
\(x(t) = 0,95{t^2} + 7t\) en mètres
Partie B : Équilibre de deux pendules électrostatiques (3 pts )
1. Les charges portées par les boules ne sont pas de même signe, car l’interaction électrique est attractive
2. Bilan des forces à l’aide du schéma
- Son poids \(\overrightarrow P \)
- La force électrostatique \({\overrightarrow F _{B/A}}\)
- La tension \(\overrightarrow T \) du fil fixé au point M
Expression de l’intensité de la force électrostatique
A l’équilibre, on a : \(\sum {\overrightarrow F _{ext}} = \overrightarrow 0 \) soit :
\(\overrightarrow P + {\overrightarrow F _{B/A}} + \overrightarrow T = \overrightarrow 0 \)
Par projection dans le repere xAy, on obtient ;
\(\left\{ \begin{array}{l}{F_{B/A}} - T\sin (\alpha ) = 0\\T\cos (\alpha ) - P = 0\end{array} \right.\)
Soit : \({F_{B/A}} = mg\tan (\alpha )\)
3. Expression de Q
Sachant que \({F_{B/A}} = \frac{{k\left| {{Q_A}} \right|\left| {{Q_B}} \right|}}{{{d^2}}}\)
Avec \(d = D - 2L\sin (\alpha )\) on a
\(\frac{{k{Q^2}}}{{{{(D - 2L\sin (\alpha ))}^2}}} = mg\tan (\alpha )\)
Soit :
\(Q = (D - 2L\sin (\alpha ))\sqrt {\frac{{mg\tan (\alpha )}}{k}} \)
Exercice 2 : Systèmes oscillants (4 pts)
Partie A : Analyse de l’évolution d’un système oscillant à l’oscilloscope (1,5 pt )
1. Déterminons la période et l’amplitude de cet oscillateur
Amplitude : \({U_m} = 3,2x2 = 6,4V\) et \({P_m} = \frac{{{U_m}}}{{0,4}} = 16V\)
Période : \(T = 4,47x5 = 22,35 ms\)
2. Expression de \(p(t)\)
\(p(t) = {P_m}\cos (\omega t + \varphi )\) avec \(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\)
\(p(t) = 16\cos (281t + \varphi )\)
Partie B : Étude d’un pendule simple(2,5 pts)
1. Équation différentielle
Système : Le solide ponctuel, dans le référentiel terrestre
- Le poids \(\overrightarrow P \) du solide
- La tension \(\overrightarrow T \) du fil
D’après la deuxième loi de Newton \(\sum {\overrightarrow F _{ext}} = m\overrightarrow {{a_G}} \) soit \(\overrightarrow P + \overrightarrow T = m\overrightarrow {{a_G}} \)
En projetant cette relation suivant l’axe (D, \(\overrightarrow \tau \)), avec \(v = L\dot \theta \), nous avons : \(\dot \theta + \frac{g}{L}\theta = 0\)
2. Période des oscillations
\({T_0} = \frac{{2\pi }}{\omega } \Rightarrow \) \({T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{L}{g}} \) soit \({T_0} = 1,79 s\)
3. Loi horaire de l’évolution du pendule
Elle est de la forme : \(\theta (t) = {\theta _0}\cos ({\omega _0}t + \varphi )\)
Avec \({\theta _0} = {8^0} \Rightarrow {\theta _0} = \frac{{2\pi }}{{45}}\), \({\omega _0} = \sqrt {\frac{g}{L}} = 3,5rad/s\)
Conditions initiales, à t=0, \(\theta (0) = {\theta _0}\) d’où \(\varphi = 0\)
Finalement
\(\theta (t) = 8\cos (3,5t)\) en degrés
\(\theta (t) = \frac{{2\pi }}{{45}}\cos (3,5t)\) en radians
Exercice 4 Mesure de l’intensité de l’accélération de la pesanteur (4 pts)
1. Méthode 1 : Calculer \({t^2}\) pour chaque hauteur, tracer le graphe h=f(t) et déterminer la pente de la droite obtenue puis en déduire g.
Méthode 2 : Calcule de la valeur v de la vitesse pour différentes dates, puis tracer le graphe v=f(t), déterminer la pente de la droite obtenue et en déduire g
2. Tracé de la droite v=f(t)
Échelle sur les axes : 1 cm pour 0,1 s et 1 cm pour 0,25 m/s
Valeur de g : de la courbe précédente, nous avons :
\({a_G} = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = 1,86m/{s^2}\)
Ainsi : \(g = \frac{{{m_1} + {m_2}}}{{{m_1} - {m_2}}}{a_G} = 9,66 m/{s^2}\)
3. La méthode utilisée par ce groupe d’élèves donne une bonne approximation de la valeur de l’accélération de la pesanteur
