PARTIE A: ÉVALUATION DES RESSOURCES 15 points

EXERCICE 1: 5 points

Pour chacune des cinq questions, écrivons le numéro de la question suivi de la lettre indiquant la réponse juste. 5pts
1)a;
2) b;
3) c;
4) d:
5) b-

EXERCICE 2: 5 points

1.a) Montrons que \(D\) est le barycentre des points \(O\) et \(B\) affectés des coefficients que l'on précisera. 0,5pt
On a:
\(D=bar\{(A;1),(B;-1),(C;1)\}\) et \(0=bar\{(A;1) (C; 1)\}\)
Donc \(D=bar\{(0;2),(B;-1)\}.\)

1.b) Déduisons-en que \(\vec{BD}=2\vec{BO}.\) 0,5pt
On a \(D=bar\{(0;2),(B;-1)\}\) donc \(2\vec{DO}-\vec{DB}=\vec{0}\Leftrightarrow2\vec{DB}+2\vec{BO}-\vec{DB}=\vec{0}\)
\(\Leftrightarrow\vec{BD}=2\vec{BO}.\)

1) c) Faisons une figure.

2) Montrons que \(ABCD\) est un rectangle.
On a \(D=bar\{(A;1), (B; -1), (C; 1)\}\) donc
\(\vec{DA}-\vec{DB}+\vec{DC}\) \(=\vec{0}\Leftrightarrow\vec{DA}+\vec{BC}=\vec{0}\Leftrightarrow\vec{DA} \) \( =\vec{CB}\) 0,5pt
ainsi \(ABCD\) est un parallélogramme.
\(ABCD\) a un angle droit en \(B\) car \(ABC\) est un triangle rectangle en \(B\) donc \(ABCD\) est un rectangle. 0,5pt

3 a) Montrons que \(B\) et \(D\) appartiennent à \((\Gamma)\).
\(AB^{2}+CB^{2}=(8)^{2}+(6)^{2}=100\) donc \(B\in(\Gamma).\)
\(AD^{2}+CD^{2}=(6)^{2}+(8)^{2}=100\) donc \(D\in(\Gamma)\) 0,75pt

3.b) Montrons que \(AM^{2}+CM^{2}=100\) équivaut à \(OM=5.\)
\(AM^{2}+CM^{2}=100\Leftrightarrow(\vec{AO}+\vec{OM})^{2}+(\vec{CO}+\vec{OM})^{2}=100\)
\(\Leftrightarrow AO^{2}+CO^{2}+2OM^{2}+2\vec{OM}\cdot(\vec{AO}+\vec{CO})=100\) 0,75pt
\(\Leftrightarrow2OM^{2}+\frac{AC^{2}}{2}=100\)
\(\Rightarrow OM^{2}=50-\frac{AC^{2}}{4}=50-\frac{10^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow OM^{2}=25\)
\(\Leftrightarrow OM=5\)
3.c) Déduisons-en la nature et les éléments caractéristiques de \((\Gamma)\).
On a \(M\in(\Gamma)\Leftrightarrow OM=5\) donc \((\Gamma)\) est un cercle de centre \(O\) et de rayon \(5\). 0,5pt
3.d) Construisons \((\Gamma)\).
Voir la figure de la question 1) c). 0,5pt

EXERCICE 3: 5 points

Donnons l'image de \(A\) par cette rotation.
L'image de \(A\) par cette rotation est \(D\). 0,5pt

a) Recopions et complétons le tableau précédent.

1) Construisons le polygone des effectifs cumulés croissants.
2) Déterminons la médiane par interpolation linéaire.
\(\frac{N}{2}=25\) Désignons par \(M\) cette médiane. On a les points \((8; 16)\), \((M; 25)\) et \((12; 32)\).
Donc \(\frac{M-8}{25-16}=\frac{12-8}{32-16};\) ainsi \(M=\frac{41}{4}=10,25.\) 0,75pt
3) a) Calculons \(u_{2}\) et \(u_{3}\).
\(u_{2}=\frac{75}{100}u_{1}+300=\frac{75\times400}{100}+300=600.\)
\(u_{3}=\frac{75}{100}u_{2}+300=\frac{75\times600}{100}+300=750.\) 0,5pt
3.b) Montrons que \(u_{n+1}=\frac{3}{4}u_{n}+300\)
On a \(u_{n+1}=\frac{75}{100}u_{n}+300=\frac{3}{4}u_{n}+300\). Donc \(u_{n+1}=\frac{3}{4}u_{n}+300.\) 0,5pt
3.c) Montrons que la suite \((v_{n})\) est une suite géométrique de raison \(\frac{3}{4}\) dont on donnera le premier terme.
\(v_{n+1}=1200-u_{n+1}=1200-(\frac{3}{4}u_{n}+300)=900-\frac{3}{4}u_{n}=\frac{3}{4}(1200-u_{n}).\)
ainsi \(v_{n+1}=\frac{3}{4}v_{n}\).
donc \((v_{n})\) est une suite géométrique de raison \(\frac{3}{4}\) et de premier terme \(v_{1}=1200-u_{1}=800\) . 0,75pt
3.c ii ) Exprimons \(v_{n}\) puis \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
\((v_{n})\) est une suite géométrique de raison \(\frac{3}{4}\) et de premier terme \(v_{1}=800\) donc \(v_{n}=800(\frac{3}{4})^{n-1}\)
Puisque \(v_{n}=1200-u_{n}\) alors \(u_{n}=1200-v_{n}\) soit \(u_{n}=1200-800(\frac{3}{4})^{n-1}\) 1 pt

PARTIE B: Évaluation des compétences 5 points

Tâche 1:
Déterminons la longueur du grillage nécessaire pour entourer ce champ.
La longueur du grillage nécessaire pour entourer ce champ est:
\(AB+BE+EF+FG+GC+CD+DA\)
Posons \(x=DC=CG=AB\). Donc \(AD=120-x\)
Ainsi, \(AB+BE+EF+FG+GC+CD+DA=300+2x\) avec \(x<30\).
L'aire de ce champ est \(A=x(120-x)+120\times30\)
Ainsi \(x(120-x)+120\times30=5600\)
Soit \(x^{2}-120x+2000=0\)
On a \(\Delta=6400\), \(x_{1}=100\) et \(x_{2}=20\).
Le périmètre de ce champ est: \(300+2\times20=340.\)
La longueur du grillage nécessaire pour entourer ce champ est de \(340~m\).

Tâche 2:
Déterminons le montant de la dépense à la quincaillerie.
Désignons par \(x\) et \(y\) respectivement le prix d'une machette et d'une houe dans cette quincaillerie.
On obtient les équations suivantes \(4x+y=11000\) et \(2x+4y=9000\) donc le système
\(\begin{cases}4x+y=11000\\ 2x+4y=9000\end{cases}\)
La résolution de ce système permet d'obtenir \(x=2500\) et \(y=1000\).
La dépense pour l'achat de trois machettes et d'une houe dans cette quincaillerie est:
\(3\times2500+1000=8500.\) Soit \(8500~FCFA\).

Tâche 3:
Déterminons le prix de vente de chaque type de denrée alimentaire.
Désignons par \(x, y \text{ et } z\) respectivement le prix d'un sac de gombo, d'un sac de maïs et d'un sac de haricot.
On obtient les équations suivantes: \(3x+2y=86000\), \(7y+z=199000\) et \(9x+4y=204000\)
et donc le système \(\begin{cases}3x+2y=86000\\ 7y+z=199000\\ 9x+4y=204000\end{cases}\)
La résolution de ce système permet d'obtenir \(x=12000\), \(y=25000\) et \(z=24000\).
Donc un sac de gombo coûte \(12000~FCFA\), un sac de maïs coûte \(25000~FCFA\) et un sac de haricot coûte \(24000~FCFA\).