PARTIE A: ÉVALUATION DES RESSOURCES 13,25 points

Exercice 1: 3 points

1. Montrons que \(f\) est un endomorphisme de \(E\).
Soient \(\vec{u}=x_{1}\vec{i}+y_{1}\vec{j}\) et  \(\vec{v}=x_{2}\vec{i}+y_{2}\vec{j}\) deux éléments de \(E\), \(\alpha\) un réel.

\(f(\vec{u}+\vec{v}) = \) \(f[(x_{1}+x_{2})\vec{i}+(y_{1}+y_{2})\vec{j}]\) \(=[(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})]\vec{i}+[(x_{1}+x_{2})-(y_{1}\)\(+y_{2})]\vec{j}\) \(=[(x_{1}+y_{1})\vec{i}+(x_{1}-y_{1})\vec{j}]+\) \([(x_{2}+y_{2})\vec{i}+(x_{2}-y_{2})\vec{j}]\) \(f(\vec{u}+\vec{v})=f(\vec{u})+f(\vec{v})\) 1pt

\(f(\alpha\vec{u})=f(\alpha x_{1}\vec{i} \) \(+\alpha y_{1}\vec{j})=(\alpha x_{1}+\alpha y_{1})\vec{i}+ \) \( (\alpha x_{1}-\alpha y_{1})\vec{j}\) \(=\alpha(x_{1}+y_{1})\vec{i}+\alpha(x_{1}-\) \( y_{1})\vec{j}\) \(=\alpha[(x_{1}+y_{1})\vec{i}+(x_{1}-y_{1})\vec{j}]=\alpha f(\vec{u})

.\) \(f\) est une application linéaire de \(E\) vers \(E\) donc c'est un endomorphisme de \(E\).

2. Déterminons la matrice \(M\) de \(f\) dans la base \(B\).
\(f(\vec{i})=\vec{i}+\vec{j}\) et \(f(\vec{j})=\vec{i}-\vec{j}\) ainsi \(M=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&-1\end{pmatrix}\). 0,5pt

3. i) Montrons que \(f\) est automorphisme de \(E\). On a: \(det M=-2\)
Comme \(det M\ne0,\) \(f\) est un endomorphisme bijectif de \(E\), donc \(f\) est un automorphisme de \(E\). 0,5pt

ii) Déduisons-en imf. Comme \(f\) est un automorphisme de \(E\), alors \(imf=E.\) 0,25pt

4. Montrons que \(F=\{\vec{u}\in E, f(\vec{u})=3\vec{u}\}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
\(f(\vec{0})=\vec{0}=3\vec{0},\) donc \(\vec{0}\in F\), ainsi \(F\ne\emptyset\) Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux éléments de \(F\), montrons que \(\vec{u}+\vec{v}\in F\) En effet \(f(\vec{u}+\vec{v})=f(\vec{u})+f(\vec{v})=3\vec{u}+3\vec{v}=3(\vec{u}+\vec{v})\) ainsi \(\vec{u}+\vec{v}\in F\) Soient \(\vec{u}\) un élément de \(F\) et \(\alpha\) un réel, montrons que \(\alpha\vec{u} \in F\). En effet \(f(\alpha\vec{u})=\alpha f(\vec{u})=\alpha(3\vec{u})=3(\alpha\vec{u}),\) ainsi \(\alpha\vec{u} \in F\). Donc \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

Exercice 2: 4,25 points

1. Déterminons les réels \(a, b \text{ et } c\) pour que pour que (Ch​) passe par les points \(A(0;-2)\), \(B(2;2)\) et admette en \(A\) une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
Dans ce cas, on a \(\begin{cases}h(0)=-2\\ h(2)=2~avec~h^{\prime}(x)=a-\frac{c}{(x-1)^{2}}.\end{cases}\) On obtient alors le système: \(\begin{cases}b-c=-2\\ 2a+b+c=2\\ a-c=0\end{cases}\) qui équivaut à \(\begin{cases}a=1\\ b=-1.\\ c=1\end{cases}\) 0,75pt + 0,75pt

2. a) Déterminons l'ensemble de définition de \(f\). \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} = ]-\infty, 1[ \cup ]1, +\infty[.\) 0,25pt

b) Justifions que la droite \((\Delta): x=1\) est asymptote à (Cf​). \(\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=+\infty,\) ou \(\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=-\infty\) donc la droite \((\Delta): x=1\) est asymptote à \((\mathcal{C}_{f})\). 0,25pt

c) Démontrons que la droite \(D: y=x-1\) est asymptote à \((\mathcal{C}_{f})\) en \(+\infty\). \(\lim_{x\rightarrow+\infty}[f(x)-(x-1)]=\lim_{x\rightarrow+\infty}[x-1+\frac{1}{x-1}-(x-1)]=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x-1}=0,\) donc la droite \((D): y=x-1\) est asymptote oblique à \((\mathcal{C}_{f})\). 0,5pt

d) Soit \(x\ne1,\) montrons que \(f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}\) où \(f^{\prime}\) est la dérivée première de \(f\). Soit \(x\ne1, f^{\prime}(x)=\frac{(2x-2)(x-1)-1(x^{2}-2x+2)}{(x-1)^{2}}=\frac{2x^{2}-2x-2x+2-x^{2}+2x-2}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}.\) 0,5pt

e) Dressons le tableau des variations de \(f\) sur \(]1; +\infty[\) 0,75pt

f) Traçons \((D), (\Delta) \text{ et } \mathcal{C}_{f}\) sur \(]1; +\infty[\).

Exercice 3: 3 points

1. Montrons que \(DI=\frac{a\sqrt{5}}{2}.\) Comme le triangle \(ADI\) est rectangle en \(A\), d'après la propriété directe de Pythagore, \(DI^{2}=DA^{2}+AI^{2}\)
Ainsi, \(DI^{2}=a^{2}+\frac{a^{2}}{4}=\frac{5a^{2}}{4}\). Donc \(DI=\frac{a\sqrt{5}}{2},\) 1,25pt + 0,5pt

2. En utilisant la relation de Chasles, démontrons que \(\vec{DI}\cdot\vec{DJ}=a^{2}\) \(\vec{DI}\cdot\vec{DJ} =(\vec{DA}\) \(+\vec{AI})\cdot(\vec{DC}+\vec{CJ})\) 1pt \(=\vec{DA}\cdot\vec{DC}+\vec{DA}\cdot\vec{CJ}+\vec{AI}\cdot\vec{DC}+\vec{AI}\cdot\vec{CJ}\) \(=0+DA \times CJ + AI \times DC + 0 = a \times \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \times a = a^{2}.\) Donc \(\vec{DI}\cdot\vec{DJ}=a^{2}\)

3. En utilisant la définition du produit scalaire, déduisons de la question 2. que \(cos(\vec{DI};\vec{DJ})=\frac{4}{5}.\)
\(\vec{DI}\cdot\vec{DJ}=DI \times DJ \times cos(\vec{DI};\vec{DJ})\) et \(\vec{DI}\cdot\vec{DJ}=a^{2}\), d'où \(\frac{a\sqrt{5}}{2} \times \frac{a\sqrt{5}}{2} \times cos(\vec{DI};\vec{DJ})=a^{2}\). 0,75pt 
Ainsi, \(\frac{5a^{2}}{4} \times cos(\vec{DI};\vec{DJ})=a^{2}\) Donc \(cos(\vec{DI};\vec{DJ})=\frac{4}{5}.\)

4. i) Justifions que \(S_{(AB)}\circ S_{(IJ)}\) est une translation.
Les droites \((IJ)\) et \((AC)\) étant parallèles, la composée \(S_{(AB)}\circ S_{(IJ)}\) est une translation. 0,25pt

ii) Déterminons le vecteur \(\vec{u}\) de cette translation en fonction du vecteur \(\vec{BD}\). Soient \(O\) le centre de \(ABCD\) et \(K\) le milieu de \([IJ]\).
La distance des droites \((IJ)\) et \((AC)\) est \(KO\). Ainsi \(\vec{u}=2\vec{KO}=\frac{1}{2}\vec{BD}\) 0,5pt

Exercice 4: 3 points

1. Justifions que \(\frac{\pi}{2}\) n'est pas une solution de \((E^{\prime})\).
\(cos\frac{\pi}{2}-\sqrt{3}sin\frac{\pi}{2}=-\sqrt{3}\) et \(-\sqrt{3}\ne0,\) donc \(\frac{\pi}{2}\) n'est pas une solution de l'équation \((E^{\prime})\). 0,5pt

2. Donnons la valeur exacte de \(tan\frac{\pi}{6}\) \(tan\frac{\pi}{6}=\frac{sin\frac{\pi}{6}}{cos\frac{\pi}{6}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.\) 0,5pt

3. a) Résolvons dans \([0;\pi]\) l'équation \(tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}.\) \(tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}\) équivaut à \(tan x=tan\frac{\pi}{6},\) soit à \(x=\frac{\pi}{6}+k\pi\) avec \(k\in\mathbb{Z}.\) \(S_{[0;\pi]}=\{\frac{\pi}{6}\}\) 1pt

b) Déduisons-en la solution de l'équation \((E^{\prime})\). \(cos x-\sqrt{3}sin x=0\) équivaut à \(cos x=\sqrt{3}sin x\) soit à \(tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.\) Donc d'après 3.a) \(\mathcal{S}_{[0;\pi]}=\{\frac{\pi}{6}\}\) 1pt

PARTIE B: Évaluation des compétences 6,75 point

Tâche 1:

Déterminons le taux de la baisse et celui de la hausse que monsieur KOULOU va appliquer pour fixer le prix du haricot. Soit \(x\%\) le taux de la baisse. Prix des denrées après la baisse de \(x\%\): \(50~000-50~000\times\frac{x}{100}=50~000-500x\). Prix des denrées après la hausse de \(2x\%\): \((50~000-500x)+(50~000-500x)\times\frac{2x}{100}=-10x^{2}+500x+50~000.\) On a alors: \(-10x^2+500x +50~000 = 51~840\) soit \(x^2 - 50x + 184 = 0.\)
\(\triangle=1764\); \(x=4\) ou \(x=46\). Ainsi le taux de la baisse est \(4\%\) et celui de la hausse \(8\%\) ou alors le taux de la baisse est \(46\%\) et celui de la hausse \(92\%\). NB: Aucune indication n'ayant été donnée sur le seuil significatif du taux, les deux taux sont valables.

Tâche 2:

Déterminons pour monsieur Koulou, la structure financière avantageuse à l'achat de son nouveau champ entre la micro finance et l'association villageoise. Désignons par \(S\) la somme à déposer. Déterminons le montant qu'il aura dans la micro finance après 5 ans. Soit \(u_{n}\) l'avoir de monsieur Koulou au terme de \(n\) années de placement à la micro finance.
\(u_{n+1}=u_{n}+\frac{5}{100}u_{n}=1,05u_{n}\) Ainsi la suite \((u_{n})\) est géométrique de raison \(1,05\) et de premier terme \(u_{0}=S\). D'où \(u_{n}=S(1,05)^{n}\), soit \(u_{5}=S(1,05)^{5}=1,2762815625S.\)

Déterminons le montant qu'il aura dans l'association villageoise après 5 ans. Soit \(v_{n}\) l'avoir de monsieur Koulou au terme de \(n\) années de placement dans l'association villageoise.
\(v_{n+1}=v_{n}+\frac{10}{100}S=v_{n}+0,1S\). Ainsi la suite \((v_{n})\) est arithmétique de raison \(0,1S\) et de premier terme \(v_{0}=S\). D'où \(v_{n}=S+0.1S(n)\) soit \(v_{5}=S+0,5S=1,5S\). Comme \(1,2762815625S < 1,5S\) alors \(u_{5} < v_{5}\), donc l'association villageoise est plus avantageuse.

Tâche 3:

Déterminons la longueur minimale de la clôture du ring que monsieur Koulou va acheter. Déterminons l'ensemble des points \(M\) délimitant la clôture. Soit \(I\) le milieu du segment \([AB]\).
\(AB\) est une diagonale du carré de côté \(7,8~m\). Donc \(AB=7,8\sqrt{2}~m\). \(MA^{2}+MB^{2}=(\vec{MI}+\vec{IA})^{2}+(\vec{MI}+\vec{IB})^{2}=(\vec{MI}+\vec{IA})^{2}+(\vec{MI}-\vec{IA})^{2}=2MI^{2}+\frac{1}{2}AB^{2}\) donc \(MA^{2}+MB^{2}=2MI^{2}+60,84.\) Ainsi \(MA^{2}+MB^{2}=91,26 \Leftrightarrow 2MI^{2}+60,84=91,26 \Leftrightarrow MI^{2}=15,21 \Leftrightarrow MI=3,9.\) L'ensemble des points \(M\) délimitant la clôture est le disque de centre \(I\) et de rayon \(3,9~m\). La longueur minimale de la clôture est le périmètre du disque de rayon \(3,9~m\), soit \(7,8\pi\). Donc la longueur minimale cherchée est \(24,492~m\).