Exercice 3 : Problème Epreuve de mathématique au baccalauréat D et TI 2014

Problème (11points)
Le problème comporte trois parties A,B, et C obligatoires.
On considère la fonction numérique de la variable réelle x définie pour tout \(x \ne - 2\) par :
\(f(x) = \frac{{{e^x}}}{{x + 2}}\).
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormée \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\).
A ) ( 4,5points)
1° Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. 1 pt
2° Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. 1 pt
3° Soit g la restriction de f à l'intervalle \(I = ] - 1, + \infty [\); montrer que g réalise une bijection de I sur un intervalle J que l'on déterminera. 1 pt
4° Tracer dans le même repère, la courbe ( C) représentative de f. et la courbe (C') représentative de \({g^{ - 1}}\) 1,5 pt
B ) ( 2,5points)
1° Déterminer l'image par f de l'intervalle [0,1]. 0,5pt
2° Calculer f ”(x) et vérifier que pour tout x de [0,1], \(f''(x) \succ 0\). 0,5pt
3° En déduire que pour tout x de [0.1] \(\frac{1}{4} \le f'(x) \le \frac{2}{3}\) 1 pt
4° Démontrer que l'équation f(x) = x admet une solution unique α dans l'intervalle [0,1] (On ne demande pas de calculer α ). 0,5pt
C ) (4 points)
On considère la suite \(({u_n})\) à termes positifs, définie par \({u_0} = \frac{1}{2}\) et pour tout entier naturel non nul n, \({u_{n + 1}} = f({u_n})\).
1° Montrer par récurrence sur n que la suite \(({u_n})\) est croissante et que \({u_n} \in [\frac{1}{2},1]\); quelle conclusion peut-on en tirer ? 1,25 pt
2° Démontrer que pour tout entier naturel n, on a :
\(\left| {{u_{n + 1}} - \alpha } \right| \le \frac{2}{3}\left| {{u_n} - \alpha } \right|\) 1,25 pt
3° En déduire que pour tout entier naturel n, \(\left| {{u_n} - \alpha } \right| \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) 1 pt
4° Déterminer la limite de la suite \(({u_n})\). 0,5pt