Partie A: Évaluation des ressources / (15,25 points)

Exercice 1 : 4 points

1. Calculons la moyenne de cette série statistique. 0,75 pt
\(\overline x = \frac{1}{N}\sum {{n_i}} .{c_i}\) ainsi \(\overline x = \frac{{440}}{{20}} = 22\)
2. Construisons le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série statistique. 1,25 pt
3. a) Déterminons le nombre de choix possibles. 1 pt
Ce nombre est \(C_6^2 = 15\). Soit 15 choix possibles. 1 pt
3. b) Déterminons le nombre de choix possibles ne contenant que des garçons. 1 pt
Ce nombre est \(C_4^2 = 6\). Soit 6 choix possibles.

Exercice 2 : 5,5 points

1. Déterminons les valeurs de \(a\) et \(b\) pour que la courbe de \(g\) passe par \(A(-3; 0)\) et \(B(7; 2)\). 1 pt
• \(A(-3; 0)\) appartient à la courbe de \(g\) signifie que \(g( - 3) = 0\). Soit \(a = 3\).
• \(B(7; 2)\) appartient à la courbe de \(g\) signifie que \(g(7) = 2\). Soit \(b = - 2\).
2. a) Déterminons l'ensemble de définition \(E\) de la fonction \(f\). 0,5 pt
Soit x e \(x \in \left[ { - 3,7} \right]\); \(f(x)\) existe si et seulement si \(x \ne 2\). 0,5 pt
Donc \(E = \left[ { - 3;2} \right[ \cup \left] {2;7} \right]\)
2. b) Calculons \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\) et déduisons-en que la droite (D) d'équation \(x = 2\) est asymptote à la courbe de \(f\). 0,75 pt
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = - \infty \) et f \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = + \infty \); donc la droite \((D)\) d'équation \(x = 2\) est asymptote à la courbe de \(f\).
2. c) Justifions que sur \(E\), la dérivée \(f’\) de \(f\) est définie par \(f'(x) = - \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\). 0,5 pt
Pour tout \(x \in E\), \(f'(x) = 0 + 5 \times \) \(\left( { - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right) = \) \( - \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
2. d) Déduisons-en le sens de variation de \(f\).
Pour tout \(x \in E\), \(f'(x) \prec 0\); donc la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\left[ { - 3;2} \right[\) et sur \(\left] {2;7} \right]\). 0,5 pt
2. e) Dressons le Tableau de variations de \(f\). 0,5 pt
2.f) Construisons la courbe \((C)\) de \(f\) et la droite \((D)\) dans un repère orthonormé. 1,5 pt

Exercice 3 : 3,75 points

1. Résolvons dans \(R\) l’équation \((E)\): \({x^2} - 41x + \) \(408 = 0\) et l’inéquation \((l)\) : \({x^2} - 41x + \) \(408 \le 408\)
\((E)\) : \((E)\): \({x^2} - 41x + \) \(408 = 0\), \(\Delta = 49 = {7^2}\). On a \(\left\{ \begin{array}{l} x = 24\\ x = 17 \end{array} \right.\) 1,5 pt
\({x^2} - 41x + \) \(408 \le 408\) signifie que \({x^2} - 41x \le 0 \Leftrightarrow \) \(x(x - 41) \le 0\).
Ains'i1’cnsemble solution de l’inéquation \((I)\): \({x^2} - 41x + \) \(408 \le 408\) est \({S_R} = \left[ {0,41} \right]\).
2. a) Justifions que les dimensions de ce terrain sont les solutions de l’équation \((E)\).
Désignons par \(L\) la longueur et \(l\) la largeur de ce terrain. On a : \(2(L + l) = 82\) et \(L \times l = 408\).
On obtient \(\left\{ \begin{array}{l} (L + l) = 41\\ L \times l = 408 \end{array} \right.\); d'où \(L\) et \(l\) sont les solutions de l'équation \({x^2} - 41x + \) \(408 = 0\). 1,25 pt
2.b Déduisons-en la longueur \(L\) et la largeur \(l\) de ce terrain.
Comme \(L\) et \(l\) sont les solutions de l'équation \({x^2} - 41x + \) \(408 = 0\), alors d'après 1.a) la longueur est 24 m et la largeur 17 m. 1 pt

Partie B. : Évaluation des compétences (6,75 points)

Tâche 1 : Vérifions si la somme dont dispose FRED peut lui permettre d’acheter la bague.
• Soit \(x%\) le taux de réduction dans ce magasin. Déterminons \(x\).
Le prix du sac après la première baisse en fonction de \(x\) est : \(11000 - 110x\).
On a \(11000 - 110x = \) \(10120\); d’où \(x = 8\).
• Déterminons le prix de la bague.
Ce Prix après la 1ere baisse est : \(10000 - \frac{{10000 \times 8}}{{100}}\) \( = 9200\) . Soit 9 200 F
Ce Prix après la 2ieme baisse est : \(9200 - \frac{{9200 \times 8}}{{100}}\) \( = 8464\) . soit 8464 F.
• Puisque \(8464 \prec 8500\) alors Fred peut acheter la bague.

Tâche 2 : Vérifions si le nombre de places réservées aux membres du groupe GES est suffisant.
• Désignons par x le nombre de membres du groupe GES.
On a : \(\frac{{154000}}{{x - 2}} = \) \(\frac{{154000}}{x} + 8800\). Ainsi \(x\) vérifie l'équation \({x^2} - 2x - 35 = 0\).
• Déterminons le nombre x de membres de ce groupe.
En résolvant l'équation \({x^2} - 2x - 35 = 0\).; on obtient \(x = - 5\) ou \(x = 7\).
Comme \(x \succ 0\) alors \(x = 7\). Soit ce groupe a 7 membres.
• Puisque \(6 \prec 7\) alors le nombre de places réservées aux membres du groupe GES ne sera pas suffisant.

Tâche 3 :Vérifions si la somme réservée parles 6 frères de Fred sera suffisante pour payer toutes les photos prévues.
• Déterminons le nombre de possibilités de former une équipe de trois frères :
Ce nombre est : \(C_6^3 = 20\). Soit 20 équipes.
• Déterminons le coût de ces photos.
Ce coût est: \(20 \times 425 = 8500\). Soit 8500 F
• Puisque \(8000 \prec 8500\) alors, la somme réservée par les 6 frères de Fred ne sera pas suffisante pour payer toutes les photos prévues.