Partie A : (15 points) : Évaluation des ressources

Exercice 1 : 03,5 points

1. Résolvons dans \(\left] { - \pi ;\pi } \right]\) l’équation $\(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) 1,5 pt
Soit \(x\) un réel de l’intervalle] \(\left] { - \pi ;\pi } \right]\)
\(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \) \(\cos \frac{\pi }{6} \Rightarrow 2x - \frac{\pi }{3}\) \( = \frac{\pi }{6} + 2k\pi \) ou \(2x - \frac{\pi }{3} = \) \( - \frac{\pi }{6} + 2k\pi \) avec \(k \in Z\)
Ainsi : \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) ou \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \)
• Pour \( - \pi \prec \frac{\pi }{4} + k\pi \le \pi \) on a \( - \frac{5}{4} \prec k \le \frac{3}{4}\), ainsi \(k = - 1\) ou \(k = 0\)
\(x = - \frac{{3\pi }}{4}\) ou \(x = \frac{\pi }{4}\)
• Pour \( - \pi \prec \frac{\pi }{{12}} + k\pi \le \pi \), on a \( - \frac{{13}}{{12}} \prec k \le \frac{{11}}{{12}}\) d’où \(k = - 1\) ou \(k = 0\)
\(x = - \frac{{11\pi }}{{12}}\) ou \(x = \frac{\pi }{{12}}\)
Donc l'ensemble solution de cette équation dans \(\left] { - \pi ;\pi } \right]\) est :
\(\left\{ { - \frac{{3\pi }}{4};\frac{\pi }{4}; - \frac{{11\pi }}{{12}};\frac{\pi }{{12}}} \right\}\)
2. Exprimons \({\cos ^2}t + {\tan ^2}t\) \( + {\sin ^2}t\) en fonction de \(\cos t\) 1 pt
Soit un réel \(t\) différent de \(\frac{\pi }{2} + 2k\pi \) avec \(k \in Z\)
\({\cos ^2}t + {\tan ^2}t + \) \({\sin ^2}t = {\cos ^2}t + \) \(\frac{{1 - {{\cos }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}} + \) \(1 - {\cos ^2}t\)
Soit \({\cos ^2}t + {\tan ^2}t + \) \({\sin ^2}t = \frac{1}{{{{\cos }^2}t}}\) \( = {\left( {\frac{1}{{\cos t}}} \right)^2}\)

3. Déterminons deux réels \(A\) et \(\varphi \) tels que \(\sqrt 3 \cos 2t - \sin 2t\) \( = A\sin \left( {2t + \varphi } \right)\)
Soit un réel.
\(\sqrt 3 \cos 2t - \sin 2t\) \( = 2\) \(\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2t - \frac{1}{2}\sin 2t} \right)\) \( = 2(\sin \frac{{2\pi }}{3}\cos 2t + \) \(\cos \frac{{2\pi }}{3}\sin 2t) = \) \(2\sin \left( {2t + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \) \( - 2\sin \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right)\)
Donc \(\left\{ \begin{array}{l} A = 2\\ \varphi = \frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\) ou \(\left\{ \begin{array}{l} A = - 2\\ \varphi = - \frac{\pi }{3} \end{array} \right.\)

Exercice 2 : 03 points

1.a. Montrons que la courbe de \(f\) passe par le point de coordonnées \((- 1 ; 0)\).
On a : \(f( - 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{2}\) \( + 4 - \frac{{31}}{6} = 0\)
Donc la courbe de \(f\) passe par le point de coordonnées \((- 1 ; 0)\). 0,5 pt
1.b. Déduisons- en que l’équation \(f(x) = 0\) admet exactement trois solutions dans \(R\):
Déterminons une factorisation de \(f(x)\) par le binôme \(x + 1\).
Par une division euclidienne ou la méthode des coefficients indéterminés, on a \(f(x) = \left( {x + 1} \right)\) \(\left( {\frac{1}{3}{x^2} + \frac{7}{6}x - \frac{{31}}{6}} \right)\) et le discriminant du trinôme \({\frac{1}{3}{x^2} + \frac{7}{6}x - \frac{{31}}{6}}\) est égal à \({\frac{{33}}{4}}\) et qui est strictement positif, d'où ce trinôme admet deux racines distinctes. Or \(-1\) n’est pas une racine du trinôme \({\frac{1}{3}{x^2} + \frac{7}{6}x - \frac{{31}}{6}}\). Par conséquent, l’équation \(f(x) = 0\) admet exactement trois solutions.
2.a. Calculons pour tout réel \(x\), \(f'(x)\) où \(f’\) désigne la fonction dérivée de \(f\).
\(f\) est dérivable sur \(R\) et pour tout réel \(x\), on a :
\(f'(x) = {x^2} + 3x\) \( - 4\)
2.b. Etudions le sens des variations de \(f\) sur \(R\).
On a \(f'(x) = {x^2} + 3x\) \( - 4\), pour tout réel \(x\).
Le discriminant de \(f‘(x)\) est égal à \(25\) et ses racines sont \(- 4\) et 1. Ainsi.
• Pour \(x \in \left] { - \infty ; - 4} \right[ \cup \) \(\left] {1; + \infty } \right[\),\(f'(x) \succ 0\) et par conséquent, \(f\) est strictement croissante sur \(\left] { - \infty ; - 4} \right[\) et sur \(\left] {1; + \infty } \right[\) ;
• Pour \(x \in \left[ { - 4;1} \right]\), \(f'(x) \le 0\) et par conséquent, \(f\) est strictement décroissante sur \(\left[ { - 4;1} \right]\)

Exercice 3 : 03,5 points

1. a. Justifions que h ne peut être une translation. 0,5 pt
La somme des coefficients des points pondérés est égale à 1 et donc le vecteur \(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {BM} + \) \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {DM} \) , n’est pas un vecteur constant.
Donc \(h\) ne peut être une translation.
1. b. Montrons que \(\overrightarrow {DM'} = 2\overrightarrow {DM} \) 1 pt
Soit M un point du plan.
\(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CM} \) \( = \overrightarrow {MM'} \Leftrightarrow \overrightarrow {DM} \) \( = \overrightarrow {MM'} = - \overrightarrow {DM} + \) \(\overrightarrow {DM'} = 2\overrightarrow {DM} \)
1. c. Donnons la nature et les éléments caractéristiques de \(h\). 0,75 pt
\(h\) est l'homothétie de centre \(D\) et de rapport \(2\).
2. a. Justifions que \(\left( {\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) est une base du plan.
A, B et C sont non alignés, ainsi les vecteurs \(\overrightarrow {AB} \) et \(\overrightarrow {AC} \) sont non colinéaires dans un espace vectoriel de dimension 2, donc ils forment une base du plan vectoriel \({E_2}\). 0,5 pt
2. b. Ecrivons la matrice \(E\) de \(\varphi \) dans la base \(\left( {\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\). 0,25 pt
\(E = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&m\\ 1&3 \end{array}} \right)\)
2. c. Déterminons la valeur de \(m\) pour que \(\varphi \) ne soit pas un automorphisme de \({E_2}\).
\(\varphi \) n’est pas un automorphisme de \({E_2} \Rightarrow \det E = 0\)
Soit \(m = 6\)

Exercice 4 : 05 points

1 Pour chacune des affirmations, disons si elle est vraie ou fausse. 2 pts

2. a. Montrons que les plans (P) et (Q) ne sont pas parallèles.
\(\overrightarrow n \left( {2; - 1;1} \right)\) et \(\overrightarrow {n'} \left( {1;1; - 1} \right)\) sont des vecteurs normaux respectifs aux plans \((P)\) et \((Q)\). Les composantes de ces vecteurs ne sont pas respectivement proportionnelles, d'où \(\overrightarrow n \) et \(\overrightarrow {n'} \) ne sont pas colinéaires. Donc les plans \((P)\) et \((Q)\) ne sont pas parallèles. 1 pt
2. b. Donnons par ses coordonnées, un point et par ses composantes un vecteur non nul de la droite commune à \((P)\) et \((Q)\).
Soit \(M(x; y; z)\) un point de l'espace.
M appartient à cette droite commune, alors \(M \in (P)\) et \(M \in (Q)\). On a le système \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - y + z = 1\\ x + y - z = - 2 \end{array} \right.\) qui est équivalent à \(\left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{1}{3}\\ y = t - \frac{5}{3}\\ z = t \end{array} \right.\) avec \(t \in R\). Donc un point de coordonnées \(\left( { - \frac{1}{5}; - \frac{5}{3};0} \right)\) et un vecteur est de composantes \(\left( {0;1;1} \right)\). 2 pts

Partie B (05 points) : Évaluation des compétences

1. Déterminons le nombre minimum de cet article que cette PME doit produire pour espérer réaliser un bénéfice.
Déterminons la fonction bénéfice B en fonction d’un nombre \(x\) d'articles vendus.
Pour \(x \in \left[ {0,1300} \right]\), on a \(B(x) = 1500x - C(x)\)
Donc B\(B(x) = - {x^2} + \) \(1500x - 202500\)
• Etudions le signe de \(B(x)\) sur l'intervalle \(\left[ {0,1300} \right]\).
Le discriminant du trinôme \(B(x)\) est égal à \(1440000 = {\left( {1200} \right)^2}\) , ainsi, sa racine dans \(\left[ {0,1300} \right]\) est 150. D'où :
Pour \(x \le 150\), \(B(x)\) est négatif et pour \(x \succ 150\), \(B(x)\) est strictement positif.
Concluons.
• Le bénéfice est réalisé si et seulement si \(B(x)\) est strictement positif. Donc le nombre minimal d'articles à produire pour réaliser un bénéfice est de 151.

2. Étudions si le budget prévu pour l’achat des enveloppes sera suffisant.
• Déterminons le nombre de croupes possibles à constituer.
Ce nombre est égal à \(C_{10}^6 = 210\)
• Déterminons le budget alloue à l'achat des enveloppes.
Ce budget est égal à \(210 \times 100 = 21000\). Soit 21000 FCFA.
• Concluons.
Puisque12 500 < 21 000, alors le budget prévu pour l’achat des enveloppes ne suffira pas.

3. Étudions si la coopérative doit offrir ce prêt sans courir de risque aussi petit soit-il, en cas de non remboursement au bout des cinq années.
• Déterminons le montant à rembourser à cette Coopérative après cinq années.
Ce remboursement suit une progression géométrique de premier terme 10 000 000 et de raison 1,125.
Ainsi le montant à rembourser après cinq années est égal à
\(10000000 \times {\left( {1,125} \right)^2}\) \( \approx 18020325\) Soit 18 020 325 FCFA.
• Concluons.
Puisque 18 000 000 < 18 O20 325, alors la coopérative coure un risque en cas de non remboursement au bout de cinq années.

Présentation : 0,5 pt