Exercice 1 : Mouvements dans les champs de forces.
1.1. Mouvements d’un satellite de la terre.
Un satellite, placé dans une orbite circulaire de rayon r dans un plan équatorial de la terre, se déplace d’Ouest en Est. On admet qu’à cette altitude, le satellite n’est soumis qu’à la seule action de la gravitation terrestre.
1.1.1. Montrer que le mouvement est uniforme.
1.1.2. La période de révolution de ce satellite a pour expression \[T = \frac{{2\pi }}{R}\sqrt {\frac{{{r^3}}}{{{G_0}}}} \] où R est le rayon de la terre et G0 l’intensité du champ de gravitation à sa surface. En déduire l’expression de la masse MT de la terre en fonction de r et T
Application numérique : r = 2000 km et T= 7,82 h.
1.1.3. Quand dit-on qu’un satellite de la terre est géostationnaire? Comparer la valeur précédente de r à celle du rayon rS de l’orbite d’un satellite géostationnaire.
1 jour sidéral = 86140 s.
Données: constance gravitationnelle ɛ=6,67 10-11 m3kg-1.s-2
1.2 Mouvement d’une tige
Deux rails conducteurs et parallèles AD et A’D’ distants de l = 12 cm sont disposés selon les lignes de plus grande pente d’un plan incliné d’un angle α= 80 par rapport à l’horizontal. Les deux rails sont reliés à un générateur de courant continu (G), en série avec un interrupteur et un résistor de résistance R ajustable (figure 1)
La tige (T) conductrice, non ferromagnétique et perpendiculaire aux rails, peut glisser sur ceux-ci parallèlement à elle-même sans frottement. Le dispositif est placé dans une zone de l’espace où règne un champ magnétique \(\overrightarrow B \) uniforme et vertical , de sens ascendant et d’intensité B= 0,1 T.
1.2.1. L’interrupteur K étant ouvert, la tige ( T ) est abandonnée sur les rails sans vitesse initiale à la position MN. Déterminer la valeur numérique de l’accélération aG du mouvement du centre d’inertie G de la tige.
On prendra g = 10 m/s2
1.2.2. La tige étant ramenée à la position MN, on ferme l’interrupteur K, l’intensité du courant dans le circuit est alors I=2A. La masse de la tige (T) est m = 60,8g.
a) Faire à l’aide du schéma, le bilan des forces qui s’exercent sur la tige (T)
b) Déterminer la nouvelle valeur de l’accélération a’G du mouvement de la tige.
c) Calculer la valeur I pour que la tige reste en équilibre sur les rails. On négligera l’effet d’induction dû au déplacement de la tige.
Exercice 2 : Les systèmes oscillants
2.1. Oscillations d’un disque homogène
Un disque (D) de masse M= 1,0 kg de rayon R est suspendu en son centre de gravité G, à un fil de torsion de constance C.
On rappelle l’expression du moment d’inertie d’un disque par rapport à l’axe (Δ) perpendiculaire à son plan passant par son centre de gravite:\[{J_\Delta } = \frac{1}{2}M{R^2}\]
On fait tourner le disque d’un angle θm dans le plan horizontal, provoquant une torsion du fil du même angle, puis on l’abandonne sans vitesse initiale. Le disque effectue alors un mouvement oscillatoire de rotation autour de l’axe (Δ) matérialisé par le fil. Un dispositif approprié a permis de représenter les variations de l’angle de torsion θ en fonction du temps.
2.1.1. Faire le bilan des forces extérieurs qui s’appliquent sur le disque à une date quelconque de son mouvement.
2.1.2. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique sur le solide
Déterminer l’équation différentielle du mouvement de ce dernier.
2.1.3 Montrer que la période propre des oscillations a pour expression : \[{T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{{M{R^2}}}{{2C}}} \]
2.1.4. Déterminer à partir du graphe de la figure 3, la valeur numérique de T0 puis en déduire la constance de torsion C du fil.
2.2. Circuit LC
Un condensateur de capacité C chargé sous tension continue U= 6V, est à la date t = 0 aux bornes d’une bobine idéale d’inductance L (schéma)
2.2.1 Etablir l’équation différentielle à laquelle obéit la tension instantanée uC aux bornes du condensateur.
2.2.2. Une solution de cette équation est : \({u_C}(t) = {U_m}\cos (628t)\)
Déterminer les valeurs de Um, de la capacité du condensateur et de la charge initiale Q0 portée par ce dernier.
Exercice 4 : Exploitation des résultats d’une expérience.
Au cours d’une expérience sur le vanadium \({}_{23}^{52}{\rm{V}}\) qui est émetteur radioactif \({\beta ^ - }\) , on utilise un écran absorbeur et un détecteur. Un dispositif approprie a permis de suivre l’évolution de l’activité de ce nucléide au cours du temps. Le tableau de mesure obtenu a permis de tracer la courbe ln(A)=f(t)
4.1 Écrire l’équation de désintégration du vanadium 52.
4.2 À partir de la loi de décroissance, montrer que : \(\ln (A) = - \lambda t\)\( + \ln ({A_0})\) où λ est la constance radioactive et A0 l’activité initiale. Rappel : \(A = \frac{{dN}}{{dt}}\) et \(\ln (ab) = \ln (a)\)\( + \ln (b)\)
4.3 Déterminer à partir de la courbe ln(A)=f(t) suivante
4.3.1 La valeur numérique de la constance λ du vanadium 52, puis calculer sa période radioactive T0.
4.3.2 Le nombre N0 de noyaux de vanadium 52 que contenait la source à la date t=0s
| Scandium | Titane | Vanadium | Chrome | Manganèse |
| \({}_{21}Sc\) | \({}_{22}Ti\) | \({}_{23}V\) | \({}_{24}Cr\) | \({}_{25}Mn\) |
