Exercice 1: Mouvements dans les champs de forces et leurs applications.
1.1. Mouvement dans le champ de pesanteur
a) Expression de l’accélération de la bille sur le plan incliné
D’après le théorème du centre d’inertie
\(\overrightarrow R + \overrightarrow P = m\overrightarrow {{a_G}} \)\( \Rightarrow \)\(\overrightarrow R \left| \begin{array}{l}0\\R\end{array} \right. + \)\(\overrightarrow P \left| \begin{array}{l}mg\sin (\alpha )\\ - mg\cos (\alpha )\end{array} \right.\)\( = m\overrightarrow {{a_G}} \left| \begin{array}{l}{a_G}\\0\end{array} \right.\) \[{a_G} = g\sin (\alpha )\]
b) Équation horaire des oscillations:
\(\overrightarrow {{a_G}} \left| \begin{array}{l}{a_{Gx}} = g\sin (\alpha )\\{a_{Gy}} = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {{v_G}} \left| \begin{array}{l}{v_x} = g\sin (\alpha )t\\{v_y} = 0\end{array} \right.\) soit \(\overrightarrow {OG} \left| \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}g\sin (\alpha ){t^2}\\y = 0\end{array} \right.\)
c) Expression de d en fonction de g, n et \(\alpha \)
\(t = n\) \( \Rightarrow \) \({x_n} = \) \(\frac{1}{2}g\sin (\alpha ).n\)
\(t = n + 1\)\( \Rightarrow \)\({x_{n + 1}} = \)\(\frac{1}{2}g\sin (\alpha )\)\(.{(n + 1)^2}\)
A la nième seconde, on a : Δt=n+1-n=1s avec Δx=d=xn+1-xn
\(d = \)\(\frac{1}{2}g\sin (\alpha )(2n + 1)\)
Calcule de l’angle \(\alpha \) : \(\sin (\alpha ) = \)\(\frac{{2d}}{{g(2n + 1)}}\) \[\alpha = {\sin ^{ - 1}}(\frac{{2d}}{{g(2n + 1)}})\]
1.2 Mouvement d’une particule dans un champ électrique uniforme
a) Schéma de la situation
b) Vitesse de la particule au point S
D’après le TCI ; \(\sum {{{\overrightarrow F }_{EXT}} = q\overrightarrow E = m\overrightarrow {{a_G}} } \) Dans le repère x’ox
\(\overrightarrow {{a_G}} \left\{ \begin{array}{l}{a_x} = 0\\{a_y} = \left| q \right|\frac{E}{m}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {{v_G}} \left\{ \begin{array}{l}{v_x} = {v_0}\cos (\alpha )\\{v_y} = \frac{{\left| q \right|E}}{m}t + {v_0}\sin (\alpha )\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \[\overrightarrow {OG} \left\{ \begin{array}{l}x = {v_0}\cos (\alpha )t\\y = \frac{1}{2}\frac{{\left| q \right|E}}{m}{t^2} + {v_0}\sin (\alpha )t\end{array} \right.\]
Au point S, x=L, alors : \(L = {v_0}\cos (\alpha )t\)\( \Rightarrow \) \(t = \frac{L}{{{v_0}\cos (\alpha )}}\) avec \({v_S} = \sqrt {v_x^2 + v_y^2} \) \( = ({({v_0}\cos (\alpha ))^2} + \)\((\frac{{\left| q \right|E}}{m}\frac{L}{{{v_0}\cos (\alpha )}}\)\( + {v_0}\sin (\alpha ){)^2}{)^{\frac{1}{2}}}\)
Exercice 2 : Système oscillant: le pendule simple
2.1 Schéma du pendule simple
C’est un solide de masse m, de petites dimensions accroché à l’extrémité d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l très grande devant les dimensions du solide.
2.2 Trajectoire de la masse du pendule simple
\(x(t) = \)\(22\cos \pi (\frac{4}{5}t\)\( - \frac{1}{3})\)
a) Calcule de la période des oscillations
\(\omega = \frac{4}{5}\pi = \)\(\frac{{2\pi }}{{{T_0}}} \Rightarrow \)\({T_0} = \frac{5}{2}s\)
Calcule de la longueur du pendule
\({T_0} = \frac{5}{2}s = \)\(2\pi \sqrt {\frac{L}{g}} \Rightarrow \)\(L = \frac{{T_0^2g}}{{4{\pi ^2}}}\) \(L = 1,58m\)
b) Expression de l’élongation angulaire
\(x(t) = L \times \theta (t)\) \( \Rightarrow \) \(\theta (t) = \frac{{x(t)}}{L}\) soit \(\theta (t) = 0,14\cos \pi (\frac{4}{5}t\)\( - \frac{1}{3})\)
L’amplitude maximale est donc : \[{\theta _{\max }} = 0,14rad\]
Exercice 3 : Les phénomènes vibratoires et corpusculaires
3.1 Phénomènes vibratoires
A) Schématisons la surface de l’eau de la cuve:
b.1 - C’est une onde mécanique: \(f = \frac{{15}}{1} = 15Hz\)
b.2 Equation horaire du mouvement de la source
\(y(t) = a\sin (2\pi f.t\)\( + \varphi )\)
À t=0, y0=0. le mouvement de la source étant descendant, v<0
\(y(0) = \sin (\varphi )\)\( = 0 \Rightarrow \)\(\varphi = \left\{ \begin{array}{l}0\\\pi \end{array} \right.\) avec \(\dot y(0) = \)\(2\pi fa\cos (\varphi ) \prec 0\) on a : \(\varphi = \pi \)
Seule la solution, \(\varphi = \pi \) satisfait à cette équation et cette inéquation.
\(y(t) = {10^{ - 2}}\sin (30\pi .t\)\( + \pi )\)
Equation horaire du mouvement d’u point M : \({y_M}(t) = {10^{ - 2}}\sin (\omega .(t\)\( - \frac{d}{v}) + \pi )\)\( = {10^{ - 2}}\sin (\omega t - \)\(\frac{{2\pi }}{{{T_0}}}\frac{d}{v} + \pi )\) \({y_M}(t) = {10^{ - 2}}\sin (\omega t\)\( - 9\pi )\)
3.2 La radioactivité
a) Calcule de la constance radioactive ; \(\lambda = \frac{{\ln 2}}{T} = 0,35j\)
b) calcule de la masse m' : \(m = \frac{{m'}}{{{2^{\frac{{15}}{2}}}}} \Rightarrow \)\(m' = {2^{\frac{{15}}{2}}}m = 90,5g\)
Exercice 4 : Experience
6.1 Équation horaire de la masse marquée
On a montré dans le cours que pour un mobile en mouvement de chute libre \[h(t) = \frac{1}{2}g{t^2}\]
6.2 Traçons la courbe t2 = f (h)
6.3 La courbe est une droite passant par l’origine.
6.4 Accélération théorique du lieu de l’expérience: on l’obtient à partir de la pente de la droite précédente.
\(p = \tan \alpha \)\( = \frac{{\Delta {t^2}}}{{\Delta h}}\)\( = \frac{{3,5 - 1,5}}{{15,5 - 5,5}}\)\( = 0,20{s^2}.{m^{ - 1}}\)
La pente entre t2 et h est : \({t^2} = \frac{2}{g}h\)\( \Rightarrow p = \)\(\frac{2}{g} = 0,2\) \[g = 10m/{s^2}\]
