Epreuve de mathématique Concours ISSEA ENSEA 2016
Exercice n° 1
Soit \({f_\lambda }\) la fonction définie sur R par :
\({f_\lambda }(x) = \frac{1}{{1 + {e^{ - \lambda t}}}}\)
où \(_\lambda \) est un paramètre réel strictement positif.
1. Étudier les variations de \({f_\lambda }\) et donner l’allure de son graphe.
2. Monter que \({f_\lambda }\) admet un centre de symétrie.
3. Montrer que l’équation \({f_\lambda }(x) = x\) admet une unique solution réelle positive que l’on notera \({x_\lambda }\).
4. Étudier la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) définie par \({u_0} = 1\) et la relation de récurrence : \({u_{n + 1}} = {f_\lambda }({u_n})\) où n est un entier naturel.
5. Calculer \({I_n} = \int\limits_{ - n}^0 {{f_\lambda }(x)dx} \) et en déduire \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {I_n}\)
6. Calculer
\({J_n} = \int\limits_0^n {(1 - {f_\lambda }(x))dx} \)
En déduire \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {J_n}\)
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Exercice n° 2
On considère la famille de courbes Cm dont l’équation par rapport à un repère orthonormé est :
\({x^2} + 4mx\) \( - 2(m + 1)y = 0\)
où m est un paramètre réel.
1. Quelle est la nature de la courbe \({C_m}\) selon la valeur du paramètre m ?
2. Montrer que les courbes \({C_m}\) passent en général par des points fixes dont on donnera les coordonnées, sauf pour une valeur particulière de m que l’on précisera.
3. Calculer l’aire comprise entre le graphe de \({C_m}\) (pour \(m \prec - 1\)), l’axe des abscisses et les droites d’équation x=0 et x=4.
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Exercice n° 3
On considère la fonction f définie sur R par :
\(f(x) = \frac{1}{{1 + x}}\)
et pour chaque entier naturel n (\(n \succ 1\)), la fonction fn est définie sur R par :
\({f_n}(x) = \frac{{{x^n}}}{{1 + x}}\)
1. Étudier les variations de f n selon les valeurs de n. La courbe représentative de f n est désignée par \({C_n}\).
2. Tracer dans un repère orthonormé les courbes \({C_2}\) et \({C_3}\). On précisera la position relative de ces deux courbes.
3. Etant donné un nombre réel x, on note \({S_n}(x)\) la somme des n premiers termes de la suite géométrique de raison (-x) et de premier terme 1. Exprimer \({S_n}(x)\) en fonction de \(f(x)\) et de \({f_n}(x)\).
4. Pour \(\left| x \right| \prec 1\), déterminer la limite de \({S_n}(x)\) lorsque n tend vers l’infini. Qu’en est-il pour x=1 ?
5. Pour x nombre réel positif ou nul, on pose :
\({a_n}(x) = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}{x^k}}}{k}} \)
Montrer que l’expression suivante A est une constante (ln désigne le logarithme népérien), dont on donnera la valeur :
\(A = {a_n}(x) + \) \({( - 1)^n}\int\limits_0^x {{f_n}(t)dt} \) \( - \ln (1 + x)\)
6. Comparer \({a_n}(x)\) et \(\ln (1 + x)\)
7. Calculer \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}(1)\)
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Exercice n° 4
1. Déterminer les nombres réels a, b, c et d vérifiant (pour tout nombre réel x) :
\(\frac{{2{x^2} + 2x + 5}}{{{{(x - 1)}^2}{{(x + 2)}^2}}}\) \( = \frac{a}{{(x - 1)}}\) \( + \frac{b}{{{{(x - 1)}^2}}}\) \( + \frac{c}{{(x + 2)}}\) \( + \frac{d}{{{{(x + 2)}^2}}}\)
2. Calculer :
\(\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{2{x^2} + 2x + 5}}{{{{(x - 1)}^2}{{(x + 2)}^2}}}} dx\)
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Exercice n° 5
Soit f la fonction définie sur R par : \(f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}}\), où \({\left| x \right|}\) désigne la valeur absolue du nombre réel x.
1. Étudier la dérivabilité de f à l’origine.
2. Étudier les variations de f et tracer son graphe.
3. Calculer :
\(\int\limits_0^1 {f(x)dx} \) et \(\int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx} \)
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Exercice n° 6
Étudier la nature des suites suivantes, dont les termes généraux sont donnés pour n entier supérieur à 1 et déterminer leur limite éventuelle :
1. \({u_n} = \) \(\frac{{\sin (n) + 3\cos ({n^2})}}{{\sqrt n }}\)
2. \({v_n} = \) \(\frac{{2n + {{( - 1)}^n}}}{{5n + {{( - 1)}^{n + 1}}}}\)
