Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2014

Exercice n° 5

Soit f l’application numérique définie par :
\(f(x) = \) \(\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\)
1. Étudier les variations de f.
2. On considère la suite \(({u_n})\) de nombres réels définie par : \({u_0} \succ 0\) et \({u_{n + 1}} = f({u_n})\).
Etudier la convergence de cette suite \(({u_n})\).
3. Calculer \(\int\limits_0^1 {f(x)} dx\)
4. Calculer \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \) \(\int\limits_1^x {(f(t) - t)dt} \)
5. Trouver une fonction g continue telle que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \) \(\int\limits_1^x {(g(t) - t)dt} \)