On appelle fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, tangente hyperbolique et cotangente hyperbolique.
Les noms « sinus », « cosinus », « tangente » et « cotangente » proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (dites « circulaires » car en relation avec le cercle unité \({x^2} + {y^2} = 1\)) et le terme « hyperbolique » provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation \({x^2} + {y^2} = 1\).
Elles sont utilisées en analyse pour le calcul intégral, la résolution des équations différentielles et en géométrie hyperbolique.

I. Définition des fonctions hyperboliques

a) La fonction sinus hyperbolique

Elle est définie comme la partie impaire de la fonction exponentielle, elle se note \(\sinh \) ou \(sh \) : \(\sinh x = \) \(\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}\)
Elle est représentée ainsi

b) La fonction cosinus hyperbolique

Elle est définie comme la partie paire de la fonction exponentielle, elle se note \(\cosh \) ou \(ch \) : \(\cosh x = \) \(\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}\)
Voir courbe ci-dessus pour sa courbe représentative

c) La fonction tangente hyperbolique

Elle est donnée par la relation :
\(\tanh x = \frac{{\sinh x}}{{\cosh x}}\) \( = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}} = \) \(\frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^{2x}} + 1}} = \) \(1 - \frac{2}{{{e^{2x}} + 1}}\)

d) La fonction cotangente hyperbolique

Elle est donnée par la relation :
\(co\tanh x = \) \(\frac{{\cosh x}}{{\sinh x}} = \) \(\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}} = \) \(\frac{{{e^{2x}} + 1}}{{{e^{2x}} - 1}}\)

e) La fonction sécante hyperbolique

Elle est donnée par la relation :
\({\mathop{\rm sech}\nolimits} x = \frac{1}{{\cosh x}}\)

f) La fonction cosécante hyperbolique

Elle est donnée par la relation :
\(co{\mathop{\rm sech}\nolimits} x = \frac{1}{{\sinh x}}\)

II. La dérivée des fonctions hyperboliques

• \(\left( {\sinh x} \right)' = \cosh x\)

• \(\left( {\cosh x} \right)' = \sinh x\)

• \(\left( {\tanh x} \right)' = \) \(\frac{1}{{{{\cosh }^2}x}}\)

• \(\left( {\cot anhx} \right)' = \) \(\frac{ - 1}{{{{\sinh }^2}x}}\)

• \(\left( {\cos ech} \right)' = \) \(\left( {\frac{1}{{\sinh x}}} \right)' = \) \(\left( {\frac{1}{{\sinh x}}} \right)' = \) \(\cos echx\)

• \(\left( {{\mathop{\rm sech}\nolimits} x} \right)' = \) \(\left( {\frac{1}{{\cosh x}}} \right)' = \) \( - \tanh x.sechx\)

III. Les fonctions inverses des fonctions hyperboliques et leurs dérivées

Il s’agit des fonctions Argument sinus hyperbolique (\(arcsinhx\)), Argument cosinus hyperbolique (\(arccosh x\)), Argument tangente hyperbolique (\(arctanh x\)) et Argument cotangente hyperbolique (\(arccotan hx\))

\(\left( {Arg\sinh x} \right)' = \) \(\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)

\(\left( {Arg\cosh x} \right)'\) \( = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\)

\(\left( {Arg\tanh x} \right)' = \) \(\frac{1}{{1 - {x^2}}}\)

IV. Relation entre les fonctions hyperboliques et les fonctions logarithmes

Soient \(y = arc\sinh x\) \( \Rightarrow x = \sinh y\)
\({\cosh ^2}x - \) \({\sinh ^2}y = 1 \Rightarrow \) \(\cosh x = \) \(\sqrt {1 + {{\sinh }^2}y} = \) \(\sqrt {1 + {x^2}} \)
Ainsi \({e^y} = \cosh x\) \( + \sinh y = \) \(\sqrt {1 + {x^2}} + x\)
Soient :

• \(y = arc\sinh x\) \( = Log\left( {\sqrt {1 + {x^2}} + x} \right)\)

• \(y = {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cosh x\) \( = Log\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\)

• \(y = {\mathop{\rm arctanh}\nolimits} x\) \( = \frac{1}{2}Log\left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right)\) avec \( = \frac{1}{2}Log\left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right)\)

V. Propriétés des fonctions hyperboliques

• \(\cosh (a + b) = \) \(\cosh a\cosh a + \) \(\sinh a\sinh b\)

• \(\cosh (a - b) = \) \(\cosh a\sinh b - \) \(\sinh a\cosh b\)

• \(\sinh (a + b) = \) \(\sinh a\cosh b + \) \(\sinh b\cosh a\)

• \(\sinh (a - b) = \) \(\sinh a\cosh b - \) \(\sinh b\cosh a\)

• \(\tanh (a + b) = \) \(\frac{{\tanh a + \tanh b}}{{1 + \tanh a\tanh b}}\)

• \(\cosh p + \cosh q = \) \(2\cosh \frac{{p + q}}{2}\) \(\cosh \frac{{p - q}}{2}\)

• \(\cosh p - \cosh q\) \( = 2\sinh \frac{{p + q}}{2}\) \(\sinh \frac{{p - q}}{2}\)

• \(\sinh p + \sinh q = \) \(2\sinh \frac{{p + q}}{2}\) \(\cosh \frac{{p - q}}{2}\)

• \(\sinh p - \sinh q = \) \(2\sinh \frac{{p - q}}{2}\) \(\cosh \frac{{p + q}}{2}\)

• \(\tanh p + \tanh q = \) \(\frac{{\sinh (p + q)}}{{\cosh p\cosh q}}\)

• \(\tanh p - \tanh q = \) \(\frac{{\sinh (p - q)}}{{\cosh p\cosh q}}\)