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Correction exercice
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Correction exercice I

1. \(\left\{ \begin{array}{l}{Z_A} \ne {Z_B}\\{Z_B} \ne {Z_C}\end{array} \right.\) donc les points A, B et C sont tels que : \(\left\{ \begin{array}{l}A \ne B\\B \ne C\end{array} \right.\)
\(mes\left( {\widehat {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BA} }} \right)\) \( = \arg \left( {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}} \right)\)
Calculons \({\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}}\)
\(\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}} = \) \(\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 - 2}}{{ - 1 - i\sqrt 3 - 2}}\) \( = \frac{1}{2} - \) \(i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Posons \(\arg \left( {\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) \( = \alpha \)
On a \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{1}{2}\\\sin \alpha = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \alpha = - \frac{\pi }{3}\)
La mesure principale de l’angle orienté \(\left( {\widehat {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BA} }} \right)\) est \( - \frac{\pi }{3}\).
2. Donnons une interprétation \(\left| {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}} \right|\)
On a : \({Z_B} \ne {Z_C}\); ce qui justifie l’existence du \(\left| {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}} \right|\)
\(\left| {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}} \right|\) \( = \frac{{AB}}{{BC}}\)
3. \(\left| {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}} \right|\) \( = \left| {\frac{{1 - i\sqrt 3 }}{2}} \right|\) \( = 1\) \(1 \Rightarrow AB\) \( = BC\)

Correction exercice II

On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives \(5 + i\); \( - 2\); \(1 + i\) et \( - 4 - 2i\)
1. Traçons les droites (AD) et (BC).
droite parallelle2. Démontrons que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
\({Z_A} \ne {Z_B}\) et \({Z_D} \ne {Z_C}\) alors \(A \ne B\) et \(D \ne C\)
Calculons \(\frac{{{Z_D} - {Z_A}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}\)
\(\frac{{{Z_D} - {Z_A}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}\) \( = \frac{{ - 9 - 3i}}{{3 + i}}\) \( = \frac{{ - 3\left( {3 + i} \right)}}{{3 + i}}\) \( = - 3\) \( \in \) \( \mathbb{R^*}\)
Ainsi, les droites (AD) et (BC) sont parallèles.

Correction exercice III

On considère les points A, B et C d’affixes respectives \(2 + i\sqrt 3 \); \( - 1\) et \(11 + 4i\sqrt 3 \).
Démontrons que les points A, B et C sont alignés.
En effet, \(A \ne B\) et \(B \ne C\)
\(\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}} = \) \(\frac{{3 + i\sqrt 3 }}{{12 + 4i\sqrt 3 }}\) \( = \frac{1}{4} \in \) \( \mathbb{R^*}\)
\(\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}} \in \) \( \mathbb{R^*}\)
Ainsi, les points A, B et C sont alignés.

Correction exercice IV

On considère les points A, B, C et H d’affixes respectives \( - 3 - i\);\( - 2 + 4i\); \(3 - i\) et \( - 2\).
1) Traçons les droites (AH) et (BC).
droites perpendiculaires2) Démontrons que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires
En effet, \(A \ne H\) et \(C \ne B\),
\(\frac{{{Z_B} - {Z_C}}}{{{Z_H} - {Z_A}}}\) \( = \frac{{10i}}{2}\) \( = 5i\) \( \in \) \(i \mathbb{R^*}\)
Donc les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

Correction exercice V

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives \(−2? \); \(7 – ?\) et \(8 + 2?\) et \(−1 + 5?\).
a) Plaçons les points A, B, C et D dans le repère.
points cocycliquesb) Démontrons que les points A, B, C et D sont cocycliques.
\({Z_B} \ne {Z_A}\) et \({Z_B} \ne {Z_D}\)
Calculons \(\frac{{{Z_D} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}\) et \(\frac{{{Z_D} - {Z_C}}}{{{Z_B} - {Z_C}}}\)
\(\frac{{{Z_D} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}} = i\) et \(\frac{{{Z_D} - {Z_C}}}{{{Z_B} - {Z_C}}}\) \( = - 3i\)
\(\frac{{\frac{{{Z_D} - {Z_C}}}{{{Z_B} - {Z_C}}}}}{{\frac{{{Z_D} - {Z_C}}}{{{Z_B} - {Z_C}}}}}\) \( = \frac{i}{{ - 3i}}\) \( = - \frac{1}{3}\) \( \in \) \( \mathbb{R^*}\)

Donc les points A, B, C et D sont cocycliques.

Correction exercice VI

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A, B et C d’affixes respectives \(1 + ?\) ; \(3\) et \(3 + 5?\).
a) Plaçons les points A, B et C dans le repère (O, I, J).
itriangle rectangleb) Démontrons que le triangle ABC est rectangle en A.
\(A \ne B\) et \(C \ne A\)
\(\frac{{{Z_B} - {Z_A}}}{{{Z_C} - {Z_A}}}\) \( = \frac{{2 - i}}{{2 + 4i}}\) \( = - \frac{1}{2}i\) \( \in \) \( i\mathbb{R^*}\)
Donc le triangle ABC est rectangle en A
2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives \(−3 + 2?\) ; \(−2 − 3?\) et \(3 − 2?\) Démontrons que le triangle ABC est rectangle isocèle en B.
\(A \ne B\) et \(C \ne B\)
\(\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}\) \( = i \in \) \( \mathbb{R^*}\)
Donc le triangle est rectangle isocèle en B.
3. On considère les points A, B et C d’affixes respectives\( - 1 + i\sqrt 3 \); 2 et\( - 1 - i\sqrt 3 \). Démontrons que le triangle ABC est équilatéral.
\(A \ne B\) et \(C \ne B\)
\(\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}} = \) \(\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) \( = \cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\) \( + i\sin \cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\) \( = {e^{ - i\frac{\pi }{3}}}\)

\(\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}} = \) \({e^{ - i\frac{\pi }{3}}}\) donc ABC est un triangle équilatéral.

Correction exercice VII

Soient A, B, C, D quatre points d'affixes respectifs : \( - 1 + i\), \( - 1 - i\), \(2i\) et \(2 - 2i\)
1) Etudions la nature des triangles ABC et BCD.
• Pour le triangle ABC
\(\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}\) \( = \frac{{1 + i}}{{2i}}\) \( = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
\(\arg \left( {\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}} \right)\) \( = \arg \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i} \right)\) \( = \frac{{3\pi }}{4}\)
\(AB = \) \(\sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \) \( = 2\sqrt 2 \)
\(AC = \sqrt 2 \)
\(BD = \sqrt {10} \)

Alors le triangle ABC est quelconque.

• Pour le triangle BCD
\(\frac{{{Z_D} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}\) \( = - i\)
\(\arg \left( {\frac{{{Z_D} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}} \right)\) \( = \arg \left( { - i} \right)\) \( = - \frac{\pi }{2}\)
\(BC = \sqrt {10} \)
\(CD = 5\sqrt 2 \)
\(BD = \sqrt {10} \)

Alors le triangle BCD est rectangle et isocèle en B. 

2) Démontrons que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
Soit \(\Omega \left( {x;y} \right)\) les coordonnées du centre de ce cercle. Les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle si :
\(d(A;\Omega ) = \) \(d(B;\Omega ) = \) \(d(C;\Omega ) = \) \(d(D;\Omega ) = r\)
\(d(A;\Omega ) = d(B;\Omega )\)
\(\sqrt {{{\left( {{x_\Omega } - {x_A}} \right)}^2} - {{\left( {{y_\Omega } - {y_A}} \right)}^2}} \) \( = \) \(\sqrt {{{\left( {{x_\Omega } - {x_B}} \right)}^2} - {{\left( {{y_\Omega } - {y_B}} \right)}^2}} \)
Apres simplification, nous avons
\( - 2y = 2y\) \( \Rightarrow y = 0\)
\(d(C;\Omega ) = d(D;\Omega )\)
\(\sqrt {{{\left( {{x_\Omega } - {x_C}} \right)}^2} - {{\left( {{y_\Omega } - {y_C}} \right)}^2}} \) \( = \) \(\sqrt {{{\left( {{x_\Omega } - {x_D}} \right)}^2} - {{\left( {{y_\Omega } - {y_D}} \right)}^2}} \)
En remplaçant \(y = 0\) par sa valeur dans l’équation ci-dessus, on a :
\( - 4x + 4 = 0\) \( \Rightarrow x = 1\)
D’où \(\Omega \left( \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right)\)
\(d(A;\Omega ) = \) \(d(B;\Omega ) = \) \(d(C;\Omega ) = \) \(d(D;\Omega ) = r\)
\(r = \sqrt 5 \)

D’où les points A, B, C et D qui appartiennent à un même cercle de centre \(\Omega \left( \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right)\) et de rayon \(r = \sqrt 5 \)

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Nous avons le plaisir de vous annoncer que, c’est désormais possible de travailler avec des amis, un camarade de classe, un frère, un professeur qui vit loin de vous sur un sujet proposé par votre enseignant, créer des groupes d’études et invité vos camarades de classe à vous joindre sur camerecole.
C’est possible avec camerecole.
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Je vous vois surpris, c’est une réalité avec camerecole les amis
Camrecole.org, plus rien ne sera comme avant. Vous pouverz laisser un message aux administrateurs du site à partir de la chatroom : camerecole, vous n'avez pas besoin de mot de passe. merci

Pour celui qui utilise un téléphone portable, cliquez sur les trois petites barres à la gauche de votre écran merci