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Mathématiques
Correction exercice
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Correction exercice I
Écrivons les nombres complexes suivants sous forme algébrique :
a) \(Z = \left( {2 - 5i} \right)\) \(\left( {3 + i} \right) = 11\) \( - 13i\)
b) \(Z = \frac{1}{{4 + 3i}}\) \( = \frac{{4 - 3i}}{{{4^2} + {3^2}}}\) \( = \frac{4}{{25}} - \) \(i\frac{3}{{25}}\)
c) \(Z = \frac{{1 - \sqrt 3 i}}{{4 - i\sqrt 2 }}\) \( = \) \(\frac{{\left( {1 - \sqrt 6 } \right) - i\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}}{3}\)
d) \(Z = \) \(\frac{{\left( {3 + 2i} \right)\left( {1 + i} \right)}}{{1 - i}}\) \( = - 2 + 3i\)

Correction exercice II
Donnons les conjugués des nombres complexes suivants :
a) \(Z = 1 - i \Rightarrow \) \(\overline Z = 1 + i\)
b) \(Z = i + \sqrt 3 \) \( \Rightarrow \overline Z = i\) \( - \sqrt 3 \)
c) \(Z = i = 0\) \( + i \Rightarrow \overline Z = \) \( - i\)
d) \(Z = 3 = \) \(3 + i0 \Rightarrow \) \(\overline Z = 3\)

Correction exercice III
Déterminons les réels x et y pour que les égalités suivantes soient vraies.
a) \(\left( {2x + 1} \right) + \) \(i\left( {3y - 2} \right)\) \( = 15 + 4i\)
Par égalisation des parties réelles et imaginaires, nous avons :
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = 15\\3y - 2 = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 2\end{array} \right.\)

b) \(\left( {x + y} \right) - \) \(i\left( {2x - y} \right)\) \( = 3 + 6i\)
Par égalisation des parties réelles et imaginaires, nous avons le système suivant :
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 2x + y = 6\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 4\end{array} \right.\)

c) \(xi - y - \) \(x + 3i = 0\)
Par égalisation des parties réelles et imaginaires, nous avons :
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = - 3\end{array} \right.\)

Correction exercice IV
Calculons les racines carrées des nombres complexes
a) \(Z = 8 - 6i\)
Soit \(z = x + iy\) la racine de nombre Z, ainsi :
\({z^2} = \) \({\left( {x + iy} \right)^2}\) \( = 8 - 6i\)
Après développement et par égalisation des parties réelles et imaginaires, nous avons :
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 8\\xy = - 3\end{array} \right.\)
En appliquant la substitution et en résolvant le système, nous obtenons \(x = \pm 3\) et \(y = \pm 1\)
Le nombre \(Z = 8 - 6i\) a donc deux racines \({z_1} = 3 - i\) et \({z_2} = - 3 + i\)

b) \(Z = 1 + i4\sqrt 5 \)
Solution : \({z_1} = \sqrt 5 + 2i\), et \({z_2} = - \sqrt 5 + 2i\)

Correction exercice V
Résolvons dans C les équations suivantes :
a) \(\left( {3 - i} \right)Z + \) \(1 + 5i = 0\)
\(Z = \) \( - \frac{{1 + 5i}}{{3 - i}}\) \( = - \) \(\frac{{\left( {1 + 5i} \right)\left( {3 + i} \right)}}{{\left( {3 - i} \right)\left( {3 + i} \right)}}\) \( = \frac{{2 - 16i}}{{10}}\) \( = \frac{{1 - 8i}}{5}\)
L’ensemble des solutions de l’équation proposée est : \(\left\{ {\frac{1}{5} - i\frac{8}{5}} \right\}\)

b) \(\left( {\left( {4 - 3i} \right)Z - 5} \right)\) \(\left( {\left( {1 + i} \right)Z + 1 - i} \right)\) \( = 0\)
Cette expression est nulle si et seulement si \(\left( {\left( {4 - 3i} \right)Z - 5} \right)\) \( = 0\) et \(\left( {\left( {1 + i} \right)Z + 1 - i} \right)\) \( = 0\) ainsi :
\(Z = \frac{5}{{4 - 3i}}\) \( = \frac{4}{5} + i\frac{3}{5}\)
Et \(\left( {\left( {1 + i} \right)Z + 1 - i} \right)\) \( = 0\) soit \(Z = \frac{{ - 1 + i}}{{1 + i}}\) \( = \frac{{2i}}{2} = i\)
L’ensemble des solutions de l’équation proposée est : \(\left\{ {i;\frac{4}{5} + i\frac{3}{5}} \right\}\)

Correction exercice VI
1) On note \(Df\) le domaine de définition de la fonction f.
Soit z un nombre complexe. \(f(z)\) existe si et seulement si \({\left( {3 + i} \right)z}\) \({ - 1 \ne 0}\). Soit \(\left( {3 + i} \right)z - 1\) \( \ne 0 \Rightarrow z\) \( \ne \frac{1}{{\left( {3 + i} \right)}} = \) \(\frac{3}{{10}} - i\frac{1}{{10}}\)
\(Df = \) \( \mathbb{C}\) \(\backslash \left\{ {\frac{3}{{10}} - i\frac{1}{{10}}} \right\}\)

2. 2) Soit z un nombre complexe. \(f(z) = 0\), alors \(\left( {1 + 2i} \right)z\) \( - 1 = 0 \Rightarrow z\) \( = \frac{1}{{1 + 2i}}\) \( = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i\)
L’ensemble des solutions de l’équation proposée est : \(\left\{ {\frac{1}{5} - \frac{2}{5}i} \right\}\)

Correction exercice VI
1) Écrirons A sou forme algébrique
Posons \(Z = x + iy\) et \(\overline Z = x - iy\)
\(A = \) \(\frac{{2 + x - iy}}{{1 - x - iy}}\) \( = \) \(\frac{{ - {x^2} - {y^2} - x + 2}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {y^2}}}\) \( + i\) \(\frac{{ - 3y}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {y^2}}}\)
2) Déterminons l'ensemble des points M du plan tel que :
a) A soit un réel
A est un réel si sa partie imaginaire est nulle c'est-à-dire \({\mathop{\rm Im}\nolimits} (A) = 0\)
Soit \(\frac{{ - 3y}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {y^2}}}\) \( = 0\) \( \Rightarrow - 3y = 0\)
Alors l’ensemble des points M cherchés est la droite d’équation y = 0 ou encore l’axe des abscisses.
b) A soit un imaginaire pur.
A est un imaginaire pur si sa partie réelle est nulle c'est-à-dire \({\mathop{\rm Re}\nolimits} (A) = 0\)
\(\frac{{ - {x^2} - {y^2} - x + 2}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {y^2}}}\) \( = 0 \Rightarrow \) \( - {x^2} - {y^2}\) \( - x + 2 = 0\)

NB : \({x^2} + {y^2}\) \( + ax + by\) \( + c = 0 \Leftrightarrow \) \({\left( {x + \frac{a}{2}} \right)^2} + \) \({\left( {y + \frac{b}{2}} \right)^2}\) \( = \) \(\frac{{{a^2} + {b^2} - 4c}}{4}\)

De ce qui précède, \( - {x^2} - {y^2}\) \( - x + 2\) \( = 0 \Leftrightarrow \) \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2}\) \( + {\left( {y + 0} \right)^2}\) \( = \frac{9}{4}\)
Alors l’ensemble des points M cherchés est le cercle de centre \(\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\) et de rayon \(r = \frac{3}{2}\)

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Je vous vois surpris, c’est une réalité avec camerecole les amis
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