L'épreuve comporte deux exercices et un problème, le tout sur deux pages.
Exercice 1 Epreuve de mathématiques au bac C et E 2016
Exercice 1 : 4,5 points
Une urne contient 5 jetons portant les réels : \( - \sqrt 2 \); —1; 0; 1 et \(\sqrt 2 \). On tire successivement et avec remise deux jetons de l'urne. On appelle x le numéro du premier jeton et y celui du deuxième jeton et on construit le nombre complexe \(z = x + iy\)
1) Combien de nombres complexes peut-on ainsi construire? 1pt
2) Quelle est la probabilité d'obtenir:
a) Un nombre complexe de module \(\sqrt 2 \)? 1pt
b) Un nombre complexe dont un argument est \(\frac{\pi }{2}\)? 1pt
3) On effectue trois fois de suite le tirage successif et avec remise de 2 jetons de l'urne et on désigne par X la variable aléatoire qui, à l'issue de ces trois tirages associe le nombre de nombres complexes de module \(\sqrt 2 \).
Déterminer la loi de probabilité de X. 1.5 pt
Exercice II Epreuve de mathématiques au bac C et E 2016
Exercice 2 : 5,5 points
On considère dans un repère orthonormé direct \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k )\) de l'espace. les surfaces (S) et (S') d'équations respectives \(z = {(x - y)^2}\) et \(z = xy\). On prendra 1 cm comme unité.
l)1) Déterminer le vecteur \(\overrightarrow i \wedge \overrightarrow j \wedge (2\overrightarrow k )\) 0.25 pt
2) On note (I2) l'intersection de (S') avec le plan (P1) d'équation z = 0.
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de (l2). 0,75 pt
3) On note (l3) l'intersection de (S) et de la surface (S") d'équation \(z = - 2xy + 4 + 2{y^2}\) . Déterminer la nature et les éléments caractéristiques du projeté orthogonal de (l3) sur le plan \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\)
Série C uniquement Epreuve de mathématiques au bac C et E 2016
Il) (Série C uniquement)
On note (l4) l'intersection de (S) et de (S').
Dans cette partie, on veut démontrer que le seul point appartenant à (l4) dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0,0.0). On suppose qu'il existe un point M appartenant à (l4) et dont les coordonnées x, y et z sont des entiers naturels.
1) Montrer que si x = O, alors le point M est le point O. 0.5pt
2) On suppose désormais que l'entier x n'est pas nul.
a) Montrer que les entiers x et y vérifient \({x^2} - 3xy + {y^2}\) 1.25 pt
En déduire qu'il existe alors des entiers naturels x‘ et y' premiers entre eux tels que \(x{'^2} - 3x'y' + y{'^2}\)
b) Montrer que x' divise \(y{'^2}\). puis que x’ divise y’. 1pt
c) Établir que x = 0 et conclure. 1,25 pt
Série E uniquement Epreuve de mathématiques au bac C et E 2016
Ill) (Série E uniquement)
ABCO est un tétraèdre régulier d'arête égale à 2. L'arête [OB] est portée par l'axe des ordonnées. C est un point du plan \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\) d'abscisse égale à \(\sqrt 3 \).
1) a) Faire un schéma. 1pt
b) Montrer que les coordonnées des points A. B et C dans le repère \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k )\) sont respectivement \((\frac{{\sqrt 3 }}{3};1;\frac{{2\sqrt 6 }}{3})\); \((0;2;0)\) et \((\sqrt 3 ;1;0)\)
En déduire le volume du tétraèdre ABCO.
Problème Epreuve de mathématiques au bac C et E 2016
Problème : 10 points
Ce problème comporte deux parues A et B.
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\). On considère l'ensemble (E) des points M(x. y) tels que \(\sqrt {\left| x \right|} + \sqrt {\left| y \right|} = 1\).
On va déterminer toutes les isométries du plan qui laissent (E) globalement invariant.
Partie A Epreuve de mathématiques au bac C et E 2016
Partie A : 4.75 points.
Soit f est la fonction numérique d'une variable réelle définie par: \(f(x) = {(1 + \sqrt {\left| x \right|} )^2}\) pour tout x appartenant à [-1, 1]. On note (C) sa courbe représentative dans le repère orthonormé \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\). On prendra 3cm comme unité sur les axes.
1) a) Déterminer la parité de f 0.25 pt
b) Quelle conséquence géométrique peut-on en déduire? 025pt
2) Soit g la restriction .de f à [0, 1] et t définie sur [0, 1] par \(t(x) = g({x^2})\).
a) Vérifier que \(g(x) = {(1 - \sqrt x )^2}\) pour tout \(x \in [0,1]\) 0,2 pt
b) Étudier la dérivabilité de g à droite en 0. Que peut-on en conclure pour la courbe (C) de f. 0, 25 pt
c) Montrer que pour tout \(x \in [0,1]\) , \(g'(x) = \frac{{ - 1 + \sqrt x }}{{\sqrt x }}\). 0,25 pt
d) Dresser le tableau de variation de g. 0,50 pt
e) Montrer que t est solution de l'équation différentielle \(y'' - 2 = 0\) sur [0. 1]. 0,25 pt
3) a) Représenter soigneusement dans le repère \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\) , la courbe (C) de la fonction f.
b) Déterminer l'aire du domaine limité par l'axe des abscisses et la courbe (C) de f . 0,5 pt
4) Soit h la fonction definie sur [-1,1] par \(f(x) = - h(x)\) Déduire de (C) la courbe (C') de h dans le même repère \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\)
5) On considère la suite \(({u_n})\) définie par \({u_0} = \frac{1}{2}\) et \({u_{n + 1}} = f({u_n})\)
a) Vérifier que la suite (un) est bien définie. 0,50 pt
b) Montrer que \(({u_n})\) n'est ni croissante ni décroissante. 0.50 pt
Partie B Epreuve de mathématiques au bac C et E 2016
Partie B: 5,25 polnts
On note (J) l'ensemble des isométries du plan qui laissent (E) globalement invariant.
1) Montrer que pour tout point M(x, y) appartenant à (E), on a: \( - 1 \le x \le 1\). 0,5pt
2) Montrer que (E) est la réunion des courbes (C) et (C-'). 0.5pt
3) On considère dans le repère \((O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\) les points l(l; 0); J(0; 1); K(-1; 0) et L(0;-1).
a) Déterminer l'ensemble des couples (A. B) de points de (E) tels que d (A,B)= 2. 0,25m
b) Soit S une isométrie du plan laissant (E) globalement invariant.
Montrer que: S(O)=O. 0,5 pt
c) En déduire toutes les natures possibles de l’isométrie S. 0,5pt
4) Soit r un déplacement laissant globalement invariant (E).
a) Vérifier que r est soit une rotation de centre O et d'angle non nul, soit l'application identique du plan. 0,5 pt
b) En déduire par leurs éléments caractéristiques tous les déplacements qui laissent (E) globalement Invariant. 1pt
6) Soit \({S_\Delta }\) une réflexion du plan d'axe \(\Delta \) laissant (E) globalement invariant.
a) Vérifier que \(O \in \Delta \) 0,5 pt
b) En déduire par leurs éléments caractéristiques toutes les réflexions qui laissent (E) globalement invariant.
6) Écrire alors en extension l'ensemble (J). 0.25pt
