Connexion

Connexion à votre compte

Identifiant
Mot de passe
Maintenir la connexion active sur ce site

Créer un compte

Pour valider ce formulaire, vous devez remplir tous les champs.
Nom
Identifiant
Mot de passe
Répétez le mot de passe
Adresse e-mail
Répétez l'adresse e-mail
Captcha
Baccalauréat
Mathématique
C & E
2021
Correction
Bonjour ! Groupe telegram de camerecole, soumettrez-y toutes vos préoccupations. forum telegram

Partie A : Évaluation des ressources (15 points)

Exercice 1 : 5,5 points (C) / 4 points (E)

I- (Série C exclusivement)
1. Démontrons que (D) passe par au moins un point M dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs. 0,25 pt
Soit \(M\left( {x;y} \right)\) un point du plan.
\(M \in \left( D \right)\) équivaut à \(y = \frac{{65}}{{16}}x - \frac{5}{{16}}\) équivaut à \(65x - 16y = 5\). Et puisque PGCD(65 ; 16) = 1, alors l'équation diophantienne \(65x - 16y = 5\) admet au moins une solution dans \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\).
2. Déterminons l'ensemble (E) des points de (D) à coordonnées entières.
(E) est l'ensemble des points dont les coordonnées sont les solutions de l'équation \(65x - 16y = 5\) dans \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\)
(5 ; 20) est une solution particulière de l'équation \(65x - 16y = 5\) et par conséquent\(65\left( {x - 5} \right) = \) \(16\left( {y - 20} \right)\). D'après le théorème de Gauss. il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(x = 16k + 5\) et \(y = 65k + 20\). Donc \(\left( E \right) = \{ M(16k\) \( + 5;65k + 20),\) \(k \in \mathbb{Z}\} \) 0,75 pt
3. Déterminons les points de (D) dont les coordonnées sont des entiers compris entre -126 et 134.
Il s'agit des points M(x ;y) tels que \(x = 16k + 5\) et \(y = 65k + 20\) avec \( - 126 \le y \le 134\).
De \( - 126 \le y \le 134\), on a \(k \in \{ - 2;\) \( - 1;0;1\} \) et par conséquent, ces points ont pour
coordonnées (\(\left( { - 27; - 110} \right)\), \(\left( { - 11; - 45} \right)\), \(\left( { 5; 20} \right)\), et \(\left( { 21; 85} \right)\). 0,5 pt
II.1 Déterminons une équation du plan (P) contenant le point A et de vecteur normal \(\overrightarrow n \).
Soit M(x; y: z) un point de l'espace \(\varepsilon \).
\(M \in (P)\) de vecteur normal \(\overrightarrow n \left( \begin{array}{l}1\\ - 2\\3\end{array} \right)\) équivaut à \(x - 2y + \) \(3z + d = 0\). où \( d \) est un réel.
Par ailleurs \(A\left( \begin{array}{l} - 2\\1\\1\end{array} \right) \in P\) équivaut à \( - 2 - 2 + \) \(3 + d = 0\). d'où d = 1. Donc \(x - 2y + \) \(3z + 1 = 0\) est une équation du plan (P). 0,5 pt
Donnons une expression analytique de la réflexion de plan (P).
Soient M(x; y; z) et M‘(x’; y’; z‘) deux points de l’espace \(\varepsilon \).
M’ est l'image de M par cette réflexion : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MM'} = \alpha .\overrightarrow n \\milieu\left[ {MM'} \right] \in \left( P \right)\end{array} \right.\) avec \(\alpha \in \mathbb{R}\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x' = \alpha + x\\y' = - 2\alpha + y\\z' = 3\alpha + z\end{array} \right.\) avec \(\alpha \in \mathbb{R}\)
\(\frac{{x + x'}}{2} - \) \(2\frac{{y + y'}}{2} + \) \(3 \times \frac{{z + z'}}{2} = 0\)
Ainsi \(\alpha = - \frac{1}{7}x\) \( + \frac{2}{7}y - \frac{3}{7}z\) \( - \frac{1}{7}\) 1 pt
\(x' = \frac{6}{7}x + \) \(\frac{2}{7}y - \frac{3}{7}z\) \( - \frac{1}{7}\), \(y' = \frac{2}{7}x + \) \(\frac{3}{7}y + \frac{6}{7}z + \frac{2}{7}\) et \(z' = - \frac{3}{7}x + \) \(\frac{6}{7}y - \frac{2}{7}z - \frac{3}{7}\) est l'expression analytique de cette réflexion.
III.1 Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de \(g\). 1 pt
Nature : \(g\) est une similitude directe.
Éléments caractéristiques :
• Centre : c'est le point d’affixe \(w = \frac{{ - 2}}{{ - 1 + i}}\) \( = 1 + i\), Donc le point \(\Omega \) est le centre.
• Rapport : \(k = \left| {\frac{{1 + i}}{2}} \right|\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
• Angle: \(\theta = Arg\left( {\frac{{1 + i}}{2}} \right)\) \( = \frac{\pi }{4}\)
a) Montrons que pour tout entier naturel \(n\), les points \(\Omega \), \(A_n\) et \({A_{n + 4}}\) sont alignés.
Soit \(n\), un entier naturel.
1ere méthode :
\(Mes\left( {\widehat {\overrightarrow {\Omega {A_n}} ,\overrightarrow {\Omega {A_{n + 4}}} }} \right) = \) \(Mes\left( {\widehat {\overrightarrow {\Omega {A_n}} ,\overrightarrow {\Omega {A_{n + 1}}} }} \right) + \) \(Mes\left( {\widehat {\overrightarrow {\Omega {A_n}} ,\overrightarrow {\Omega {A_{n + 2}}} }} \right) + \) \(Mes\left( {\widehat {\overrightarrow {\Omega {A_n}} ,\overrightarrow {\Omega {A_{n + 3}}} }} \right) + \) \(Mes\left( {\widehat {\overrightarrow {\Omega {A_n}} ,\overrightarrow {\Omega {A_{n + 4}}} }} \right) \)
\(Mes\left( {\widehat {\overrightarrow {\Omega {A_n}} ,\overrightarrow {\Omega {A_{n + 4}}} }} \right) = \) \(4 \times \frac{\pi }{4} = \pi \) ainsi \), les points \(\Omega \), \(A_n\) et \({A_{n + 4}}\) sont alignés.
2e méthode :
De proche en proche, on établit que \({Z_{n + 4}} = - \frac{1}{4}{Z_n}\). Ainsi \({A_{n + 4}}\) est l’image de \({A_{n }}\) l‘homothétie de rapport \( - \frac{1}{4}\) et de centre \(\Omega \). Ainsi \), les points \(\Omega \), \(A_n\) et \({A_{n + 4}}\) sont alignés. 0,5 pt
b) Montrons que pour tout entier naturel \(n\). le triangle \(\Omega {A_n}{A_{n + 4}}\)est rectangle et isocèle.
Soit n un entier naturel.
\(\frac{{{Z_{n + 1}} - {Z_n}}}{{{Z_{n + 1}} - {Z_\Omega }}} = \) \(\frac{{1 + \frac{{1 + i}}{2}{Z_n} - {Z_n}}}{{1 + \frac{{1 + i}}{2}{Z_n} - 1 - i}}\) \( = i\), Donc le triangle \(\Omega {A_n}{A_{n + 1}}\) est rectangle et isocèle en \({A_{n + 1}}\) 1 pt

Exercice 2 : 5,25 points (C et E)

Déterminons la loi de probabilité de \(\lambda \).
L’univers image \(\lambda \left( \Omega \right) = \{ 0;\sqrt 3 ;\) \( - \sqrt 3 ;2\sqrt 3 \} \)

\(k\) \( - \sqrt 3 \)  0  \(\sqrt 3 \)  \(2\sqrt 3 \)
\(p\left( {\lambda = k} \right)\)  \(\frac{2}{{15}}\)  \(\frac{4}{{15}}\)  \(\frac{6}{{15}}\)  \(\frac{3}{{15}}\)

2. Calculons de l’espérance mathématique et l'écart type de \(\lambda \).
L'espérance est : \(E\left( \lambda \right) = \) \(\sum {kP\left( {\lambda = k} \right)} \) \( = \) \(\frac{{6\sqrt 3 - 2\sqrt 3 + 6\sqrt 3 }}{{15}}\) \( = \frac{{2\sqrt 3 }}{{15}}\)
La variance est: \(V\left( \lambda \right) = \) \(\sum {{k^2}P\left( {\lambda = k} \right)} \) \( - {E^2}\left( \lambda \right)\) \( = \frac{8}{3}\)
II.1. Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de \(\left( \Sigma \right)\).
Nature : \(\left( \Sigma \right)\) est une hyperbole.
Éléments caractéristiques : dans le repère \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\). 1 pt
• Centre : le point O.
• Sommets : \(B\left( {0;2} \right)\) et \(B'\left( {0; - 2} \right)\).
• Foyers : \(F\left( {0;\sqrt 5 } \right)\) et \(F'\left( {0; - \sqrt 5 } \right)\),
• Directrices: \(\left( \Delta \right)\) : \(Y = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\) et \(\left( {\Delta '} \right)\) : \(Y = - \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\).
• Excentricité : \(e = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
2. a) Donnons l'expression analytique de \(r\). 0,75 pt
Soient \(M\left( {X;Y} \right)\) et \(M'\left( {X';Y'} \right)\) deux points d'armes respectives \(z\) et \(z'\).
\(M' = r\left( M \right)\) \( \Leftrightarrow z = {e^{ - \frac{\pi }{6}i}}z \Leftrightarrow \) \(X' + iY' = \) \(\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)\) \(\left( {X + iY} \right)\)
Ainsi \(X' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}X\) \( + \frac{1}{2}Y\) et \(Y' = - \frac{1}{2} + \) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}Y\). qui est l'expression analytique de la rotation \(r\). 0,75 pt
b) Déterminons une équation de l'ensemble \(\left( {\Sigma '} \right)\) image de \(\left( {\Sigma '} \right)\) par \(r\).
Soient M(X ; Y) et M(X’; Y’) deux points d'affixes respectives \(z\) et \(z’\).
\(X' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}X\) \( + \frac{1}{2}Y\) et \(Y' = - \frac{1}{2}X + \) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}Y\) ainsi \(X = \frac{{\sqrt 3 }}{2}X'\) \( - \frac{1}{2}Y'\) et \(Y = - \frac{1}{2}X'\) \( + \frac{{\sqrt 3 }}{2}Y'\)
\(4{X^2} - {Y^2} = \) \( - 4 \Rightarrow 4\) \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}X' - \frac{1}{2}Y'} \right)^2} - \) \(\left( { - \frac{1}{2}X' + \frac{{\sqrt 3 }}{2}Y'} \right)\) \( = - 4\)
\(11X{'^2} + Y{'^2}\) \( - 10\sqrt 3 X'Y' + \) \(16 = 0\) (1)
Donc, une équation de l'ensemble \(\left( {\Sigma '} \right)\) image de \(\left( {\Sigma } \right)\) par r est (1) 0,5 pt
c) Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de \(\left( {\Sigma '} \right)\). 1 pt
• Nature : \(\left( {\Sigma '} \right)\) est une hyperbole.
• Éléments caractéristiques : dans le repère \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\)
• Centre : le point O.
• Sommets : \(S(1;\sqrt 3 )\) et \(S'( - 1; - \sqrt 3 )\).
• Foyers : \(r(F)\) et \(r(F’)\).
• Directrices : \(r(\Delta )\) et \(r(\Delta ')\).
• Excentricité : \(e = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
d) Construisons dans le même repère \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\), \(\left( \Sigma \right)\) et\(\left( {\Sigma '} \right)\). 0,5 pt
courbe fonction

Exercice 3 : 3,25 points (C) / 4,75 points (E)

1. a) Étudions les variations de \(f\).
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) = \) \(\frac{{\left( { - x - 1} \right){e^x}}}{{{e^{2x}}}}\) \( = \frac{{\left( { - x - 1} \right)}}{{{e^x}}}\)
Ainsi, \(f\) est strictement décroissante sur \(\left] { - 1; + \infty } \right[\) et strictement croissante sur \(\left] { - \infty ; - 1} \right[\). 0,75 pt
b) Déterminons une équation cartésienne de la tangente \(\left( T \right)\) en \(\left( C \right)\) au point d'abscisse \({ - 1}\).
\(\left( T \right):y = \) \(f'( - 1)(x + 1)\) \( + f( - 1)\). Donc une équation de \(\left( T \right)\) est \(y = e\)
c) Construisons la courbe \(\left( C \right)\) de \(f\) et \(\left( T \right)\) dans le même repère. 1 pt
courbe fonction 12. a) Déterminons les constantes réelles \(a\), \(b\) et \(c\) telles que la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) soit une primitive de \(f\).
\(F\) est une primitive de \(F\) sur \(\mathbb{R}\) si et seulement si \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(x \in \mathbb{R}\),
\(F'(x) = f(x)\), ainsi, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\frac{{ - ax + a - b + c{e^x}}}{{{e^x}}}\) \( = \frac{{x + 2}}{{{e^x}}}\) donc \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 3\\c = 0\end{array} \right.\) 0,75 pt
b) Calculons \(\int_{ - 1}^0 {f(x)dx} \).
\(\int_{ - 1}^0 {f(x)dx} = \) \(\left[ {\frac{{ - x - 3}}{{{e^x}}}} \right]_{ - 1}^0\) \( = - 3 + 2e\)
\(\int_{ - 1}^0 {f(x)dx} \) \( = - 3 + 2e\). 0,5 pt

3. (Série E exclusivement)

a) Résolvons \(\left( E \right)\).
l'équation caractéristique de \(\left( E \right)\) est \({r^2} - 2r\) \( + 1 = 0\) qui a pour solution \(r = 1\). Donc les solutions de l'équation \(\left( E \right)\) sont les fonctions U telles que pour tout \(x \in \mathbb{R}\),
\(U(x) = \) \(\left( {Ax + B} \right){e^x}\) avec A et B qui sont des constantes réelles par rapport à \(x\). 0,75 pt
b) Déterminons la solution de \(\left( E \right)\) dont la courbe passe par le point \(A\left( {0;1} \right)\) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 1.
Désignons par \(\left( G \right)\) cette solution. Alors \(G(0) = - 1\) et \(G'(0) = 1\) d'où \(B = - 1\) et \(A + B = 1\), donc \(G(x) = \) \(\left( {2x - 1} \right){e^x}\)

Partie B : Évaluation des compétences (5 points)

Références et solutions
Tâche 1 : Déterminons le coût de ce terrain entier que ABBA souhaite vendre.
Calculons en m2 l'aire \({A_1}\) de ce terrain entier
\({A_1} = \) \(\left( {\int_0^4 {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}dx} } \right)\) \( \times 1000 = \) \(\left[ {\ln \left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)} \right]_0^4\) \( \times 1000 = \) \(\ln \left( {\frac{{{e^4} + {e^{ - 4}}}}{2}} \right)\) \( \times 1000 \approx \) \(3307,188\)
Donc \({A_1} = 3307,188\) m2
Calculons le coût de ce terrain entier.
\(\ln \left( {\frac{{{e^4} + {e^{ - 4}}}}{2}} \right)\) \( \times 2000000\) \( \approx 6614376\) F
Tâche 2 : Déterminons le montant qu'aura ABBA s'il ne souhaite vendre que la portion réservée aux pastèques.
Calculons en m2 l'aire \({A_2}\) de la portion réservée aux pastèques.
\({A_2} = \) \(\left( {\int_0^4 {\left( {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}} - \frac{1}{4}x} \right)} } \right)\) \( \times 10000 \approx \) \(1307,488\) m2
Calculons le montant pour cette portion réservée aux pastèques.
\(\left( {\ln \left( {\frac{{{e^4} + {e^{ - 4}}}}{2}} \right) - 2} \right)\) \( \times 2000000 \approx \) \(2614376\)
Tâche 3 : Aidons ABBA à retrouver le nombre de sacs de chaque type des deux produits cultivés.
Effectuons le choix des inconnues et procédons à la mise en équations.
Désignons par x et y les nombres de sacs de pastèques et de carottes respectivement.
Nombre total de sacs : \(x + y = 17\)
A la fin de la vente : \(6800\left( {x - 1} \right)\) \( - 3000\left( {y - 1} \right)\) \( = 4000\)
Résolvons le système obtenu nous permet d’avoir : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 11\end{array} \right.\)
Donc 6 sacs de pastèques et 11 sacs de carottes.
NB : Le nombre 17 n'étant pas visible sur l'épreuve (confondu à 47) d'une part et l’expression « différence entre…. » d'autre part, accepter aussi l'un des systèmes ci-après :
\(x + y = 17\) et \( - 6800\left( {x - 1} \right)\) \( + 3000\left( {y - 1} \right)\) \( = 4000\) soit
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 17\\ - 34x + 15y = 1\end{array} \right.\)
Ou \(x + y = 47\) et \(6800\left( {x - 1} \right) - \) \(3000\left( {y - 1} \right)\) \( = 4000\) soit \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 47\\34x - 15y = 39\end{array} \right.\)
Ou \(x + y = 47\) et \( - 6800\left( {x - 1} \right)\) \( + 3000\left( {y - 1} \right)\) \( = 4000\) soit \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 47\\ - 34x + 15y = 1\end{array} \right.\)
Et ces trois derniers systèmes ont respectivement pour couples solutions \(\left( {\frac{{254}}{{49}};\frac{{579}}{{49}}} \right)\) , \(\left( {\frac{{744}}{{49}};\frac{{1559}}{{49}}} \right)\) ou \(\left( {\frac{{704}}{{49}};\frac{{1599}}{{49}}} \right)\) et dans ces trois derniers cas, le problème posé n'a pas de solution.