a) Définition :

Une suite numérique est une application de IN (ou une partie de IN ) dans R.
Une suite peut être définie, entre autres :
• Une façon explicite : \(Un = f(n)\), ou \(f\) une fonction définie sur \(\left[ {0, + \infty } \right[\)
• Par récurrence : \({U_0}\) est donnée et \({U_{n + 1}} = f({U_n})\) avec \(f\) est une fonction.

b) Monotonie:

Une suite numérique \({U_n}\) est:
• Croissante si et seulement si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \({U_n} \le {U_{n + 1}}\)
• Décroissante si et seulement si pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \({U_n} \ge {U_{n + 1}}\)
• Constante si et seulement si pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \({U_n} = {U_{n + 1}}\)
• Strictement croissante pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \({U_n} \prec {U_{n + 1}}\)
• Strictement décroissante pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \({U_n} \succ {U_{n + 1}}\)

c) Suite bornée :

Une suite numérique \({U_n}\) est :
• Majorée par un réel \(M\) si et seulement si, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \({U_n} \le M\)
• Minorée par un réel \(m\) si et seulement si, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \({U_n} \ge m\)
• Bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

d) Suites convergentes :

Définition :
Une suite \({U_n}\) est convergente si elle admet une limite finie \(l\) quand \( n\) tend vers \({ + \infty }\)

Théorèmes de comparaison :
Soient \({U_n}\) et \({V_n}\) deux suites,et \(l\) un réel.
Si à partir d’un certain rang, On a : \(\left| {{U_n} - l} \right| \prec {V_n}\) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {V_n} = 0\) alors \({\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {U_n} = l}\)
• Soient \({{U_n}}\), \({{V_n}}\) et \({{W_n}}\) trois suites et \(l\) un réel ;
Si \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {U_n} = l = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {V_n}\) et \({U_n} \le {W_n} \le {V_n}\),.alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {W_n} = l\)
• Soient \({U_n}\), \({V_n}\) deux suites tel que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {U_n} = l\) ; \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {V_n} = l’\)
Si à partir d’un certain rang \({U_n} \le {V_n}\), alors \(l \le l'\)

Théorèmes de convergence :
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Théorèmes :
• Si \(\left( {{U_n}} \right)\) est une suite convergente vers \(l\), \(f\) est une fonction continue en \(l\) et \({U_n} \in D\), (\(D\) domaine de définition de \(f\)), alors \(f\left( {{U_n}} \right)\) converge vers \(f\left( l \right)\).
• \(U\) est une suite, si \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {U_n} = l\) et \({U_n} \ge 0\) (à partir d’un certain rang) alors \(l \ge 0\).
• \( f\) une fonction définie sur \(D\), f continue en \(l\).
On considère la suite \(U\) vérifiant \(f\left( {Un} \right) = {U_{n + 1}}\)
Si la suite \(U\) converge vers \(l\) alors \(l\) est une solution de l’équation : \(f(x) = x\) ou \(f(l) = l\)

Définition :
Une suite est divergente si et seulement si elle n’est pas convergente, c’est-à-dire \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } Un\) est l'infini où n’existe pas.

Théorèmes de comparaisons :
• Soient \({U_n}\) et \({V_n}\) deux suites et à partir d’un certain rang
Si \({U_n} \le {V_n}\) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {U_n} = + \infty \) alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {V_n} = + \infty \)
• Soient \({U_n}\) et \({V_n}\) deux suites et à partir d’un certain rang
Si \(Vn \le Un\) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to - \infty } Un = - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to - \infty } Vn = - \infty \)

Théorèmes :
• Soit \(f\) une fonction si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \alpha \) alors la suite de terme général \({U_n} = f\left( n \right)\) à pour limite \(\alpha \) (\(\alpha \) peut être finie ou infinie).

e) Les suites adjacentes :

Définition :
on dit que deux suites \(\left( {{U_n}} \right)\) et \(\left( {{V_n}} \right)\) sont adjacentes lorsque l’une des deux suites est croissante et l’autre est décroissante et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{U_n} - {V_n}} \right) = 0\)

Exemple de suites adjacentes : \({U_n} = 1 - \frac{1}{n}\) er \({V_n} = 1 + \frac{1}{{\sqrt n }}\)

Propriétés :
1) Deux suites adjacentes sont convergentes vers une même limite \(l\).
2) Si \(\left( {{U_n}} \right)\) et \(\left( {{V_n}} \right)\) sont 2 suites adjacentes et \(\left( {{U_n}} \right)\) est croissante et \(\left( {{V_n}} \right)\) décroissante alors :
\({U_n} \le {V_n}\)
\(\forall x \in \mathbb{N}\)`, \(p \in \mathbb{N}\), \({U_n} \le L \le {V_n}\)

Conclusion

a) Comment étudier la monotonie d’une suite ?

• Étudier le signe de \({U_{n + 1}} - {U_n}\)
• étudier le sens de variation de \(f\) sur \(\left[ {0, + \infty } \right[\)
• Si tous les termes sont positifs strictement on compare \(\frac{{{U_{n + 1}}}}{{{U_n}}}\) et 1
• Utiliser un raisonnement par récurrence.

b) Comment montrer qu’une suite est majorée par M , minorée par m, bornée ?

• Etudier le signe de \({U_n} - M\).
• Si \({U_n} = f(n)\), utiliser le sens de variation de \(f\) sur \(\left[ {0, + \infty } \right[\)
• Utiliser un raisonnement par récurrence.

c) Comment étudier la convergence d’une suite U ?

• On applique le théorème des encadrement ou on applique le théorème de convergence des suites monotones si les hypothèses le permettent
• On applique le théorème de convergence des suites adjacentes

d) Comment calculer la limite \(l\) d’une suite convergente définie par \(f({U_n}) = {U_{n + 1}}\)? (\(f \) continue sur \(I\) et \({U_n} \in I\)

Si \(f\) est convergente vers \(l\) alors \(f(l) = l\)
Si \({U_n}\) est minorée par m alors \(l \ge m\)
Si \({U_n}\) est majorée par \(M\) alors \(l \le M\)
On choisi la solution \(l\) de l'équation \(f(x) = x\) qui convient.