Partie A : Évaluation des ressources

A. Vérification des savoirs

Exercice

Répondre par Vrai ou Faux aux affirmations suivantes :

a) \(\alpha \) un réel fini ou infini, \(l\) et \(l’\) deux reels.
si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) = + \infty \) et \(f(x) \le g(x)\) alors \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = - \infty \)
b) Soient \(\alpha \), \(\beta \) et \(\lambda \) des réels.
Si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) = \beta \) et \(\mathop {\lim }\limits_{y \to \beta } g(y) = \lambda \) alors \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g \circ f(x) = \lambda \).
c) si \(f\) est continue sur \(\left[ {a,b} \right]\) alors pour tout réel \(\lambda \) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe un \(c \in \left] {a,b} \right[\) tel que \(f(c) = \lambda \).
d) Soit \(I\) un intervalle., \(a\) et \(b\) des réels.
• Si \(I = \left[ {a,b} \right]\) et \(f\) continue et strictement croissante , alors \(f(I) = \left[ {f(a),f(b)} \right]\).
• Si \(I = \left[ {a,b} \right]\) et \(f\) continue et strictement décroissante , alors \(f(I) = \left[ {f(b),f(a)} \right]\).
e) Si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) (respectivement \({x \to - \infty }\) alors la droite d’equation \({y = ax + b}\) est asymptote verticale à la courbe \(f\) en \({x \to - \infty }\)

Exercice I

Répondre par vrai au faux aux propositions suivantes, puis justifier votre réponse a la lumière de ce cours :
1) Soit \(f\) une fonction strictement décroissante sur l’intervalle \([0,1]\) tel que \(f(0) = 2\)
a) Si \(f\) est continue sur \([0,1]\), alors pour tout réel \(k\) l’équation \(f(x) = k\) admet une unique solution dans \([0,1]\).
b) Si \(f(1) \prec 0\) alors \(f(x) = 0\) admet une unique solution dans \([0,1]\)
c) Si \(f\) est continue sur \([0,1]\) alors l’équation \(f(x) = 0\) peut avoir deux solutions \([0,1]\)
d) Si \(f\) est dérivable sur \([0,1]\) et \(f(1) = -2\) alors il existe un unique réel \(\alpha \) tel que \(f(\alpha ) = 0\).
2} Soit \(f\) une fonction dont le tableau de variations est le suivant : a) L’équation \( f(x) = 1\) admet une unique solution
b) L’équation \(f(x) = - 3\) admet une unique solution
c) L'image de \(\left] {0,4} \right]\) est \(\left[ {0, + \infty } \right[\)
d) Le signe de \(f\) est 

B. Application des savoirs

Exercice I

Calculer la limite des fonctions suivantes :
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {4x + 1} - 3}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {{x^2} - 1} \)
c) soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x) = \sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {{x^2} - 1} \)
- Calculer \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\) et interpréter géométriquement le résultat.
- En déduire \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\) \(\sin \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\).

Exercice 2

Déterminer les limites suivantes :
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sin \left( {\frac{{\pi x - 1}}{{x + 2}}} \right)\) ;
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt x \cos \left( {\frac{1}{x}} \right) \)
c) Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), si \(x \ge 1\) alors \(\frac{1}{2} \le \frac{x}{{x + 1}} \le 1\)
En utilisant les théorèmes de comparaison, en déduire que :
1) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{x\sqrt x }}{{x + 1}}} \right)\)
2) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{x}{{\sqrt x \left( {x + 1} \right)}}} \right)\)
d) soit \(\varphi (x)\) une fonction définie sur \(\left[ {1, + \infty } \right[\) et vérifiant \(1 - {x^2} \le {x^2}\varphi (x) \le 2 - {x^2}\)
Calculer \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \varphi (x)\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{{{\left[ {\varphi (x)} \right]}^n}}}\) avec \(n \in \mathbb{N}\)

Partie B: Évaluation des compétences

Exercice I

Tu es ingénieur dans une petite entreprise qui conçoit des profils de pontons modulaires. Pour des raisons de fabrication, le coefficient d’efficacité d’un module est donné par la formule suivante en fonction d’un paramètre géométrique \(x\) (mesuré en unités normalisées) :
\(f(x) = \frac{{{x^4} - 2{x^3} + ax + b}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
Où \(a\) et \(b\) sont deux paramètres de réglage liés à l’alliage utilisé. Lors des essais, on a mesuré que lorsque le paramètre géométrique est proche de \(x=1\) le coefficient d’efficacité doit tendre vers 3 (valeur requise pour la stabilité minimale), et lorsqu’il est proche de \(x=2\) il doit tendre vers 7.
Question métier :
1) Quels réglages \(a\) et \(b\) faut-il choisir pour que les limites demandées soient respectées ? 2) Quel est le modèle simplifié d’efficacité pour tous les autres \(x\) et peut-on prolonger la fonction par continuité en 1 et 2 ?

Exercice II

Dans un lycée de la ville, un club scientifique utilise un petit drone météo équipé d’un capteur lumineux pour mesurer la luminosité du ciel en fonction de l’altitude.
Le responsable du club explique aux élèves :
Lorsque le drone monte, il passe dans une zone où la lumière devient instable. Le capteur renvoie la mesure suivante, en fonction de l’altitude \(h\) (en mètres) : \(L(h) = h\sin \left( {{\textstyle{1 \over h}}} \right)\) lorsque \(h \ne 0\) et au sol (à \(h=0\)), le capteur annonce une luminosité de 0.”
Le drone doit passer très près du sol (autour de \(h=0\)) pour revenir à la base.
Le club se demande :
D’après toi, Peut-on garantir que la luminosité mesurée reste proche de 0 quand le drone se rapproche du sol ? En d’autres termes, le drone peut-il revenir au sol sans changement brutal de luminosité.