I) Limites :

I.1 Théorèmes de comparaison :

\(\alpha \) un réel fini ou infini, \(l\) et \(l’\) deux reels.
a) si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) = + \infty \) et \(f(x) \le g(x)\) alors \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = + \infty \)
b) si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) = - \infty \) et \(f(x) \ge g(x)\) alors \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = - \infty \)
c) si \(\left| {f(x) - l} \right| = g(x)\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = 0\) alors \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) = l\)
d) si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) = l = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x)\) et \(f(x) \le h(x) \le g(x)\) alors \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } h(x) = l\)
e) si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = l'\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) = l\) et \(f(x) \le g(x)\) alors \(l \le l'\)

I.2) Limites d’une composée:

Soient \(\alpha \), \(\beta \) et \(\lambda \) des réels.
Si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f(x) = \beta \) et \(\mathop {\lim }\limits_{y \to \beta } g(y) = \lambda \) alors \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g \circ f(x) = \lambda \).

I.3 ) Asymptotes

Si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = l\) (respectivement \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = l\)) avec \(l\) fini.
Alors la droite d’équation \(y = l\) est une asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \({ + \infty }\) (respectivement \({ - \infty }\))
Si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = \pm \infty \) avec (\(a\) fini) alors la droite d’équation \(x=a\) est asymptote verticale a la courbe \(f\).
Si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) (respectivement \({x \to - \infty }\) alors la droite d’equation \({y = ax + b}\) est asymptote oblique a la courbe \(f\) en \({x \to - \infty }\)

II. La continuité d’une fonction

I.1 Définition

• Soit \({x_0} \in D\) avec \(D\) le domaine de définition de la fonction \(f(x)\)
• \(f\) est continue en \({x_0}\) équivaut à \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\)
• \(f\) est continue à droite en \({x_0}\) équivaut à \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = f({x_0})\)
• \(f\) est continue à gauche en \({x_0}\) équivaut à \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = f({x_0})\)

a) Théorème :

Si \(f\) est continue sur \(\left[ {a,b} \right]\) alors \(f\left( {\left[ {a,b} \right]} \right) = \left[ {m,M} \right]\).
Avec \(m\) la plus petite valeur prise par \(f(x)\) sur \({\left[ {a,b} \right]}\) et \(M\) la plus grande valeur prise par \(f(x)\) sur \({\left[ {a,b} \right]}\).

b) Théorèmes : Image d’un intervalle par une fonction continue.

Soit \(I\) un intervalle., \(a\) et \(b\) des réels.
• Si \(I = \left[ {a,b} \right]\) et \(f\) continue et strictement croissante , alors \(f(I) = \left[ {f(a),f(b)} \right]\).
• Si \(I = \left[ {a,b} \right]\) et \(f\) continue et strictement décroissante , alors \(f(I) = \left[ {f(b),f(a)} \right]\).
• Si \(I = \left[ {a,b} \right[\) et \(f\) continue et strictement croissante , alors \(f(I) = \left[ {f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x)} \right[\).
• Si \(I = \left[ {a,b} \right[\) et \(f\) continue et strictement décroissante , alors \(f(I) = \left] {\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x),f(a)} \right]\)
• Si \(I = \left] {a,b} \right[\) et \(f\) continue et strictement croissante , alors \(f(I) = \left] {\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x)} \right[\).
• Si \(I = \left] {a,b} \right[\) et \(f\) continue et strictement décroissante , alors \(f(I) = \left] {\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x)} \right[\).
• Si \(I = \left] { - \infty ,b} \right]\) et \(f\) continue et strictement croissante , alors \(f(I) = \left] {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x),f(b)} \right]\)
• Si \(I = \left] { - \infty ,b} \right]\) et \(f\) continue et strictement décroissante , alors \(f(I) = \left[ {f(b),\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)} \right[\).
• Si \(I = \left] {a, + \infty } \right[\) et \(f\) continue et strictement croissante , alors \(f(I) = \left] {\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)} \right[\).
• Si \(I = \left] {a, + \infty } \right[\) et \(f\) continue et strictement décroissante , alors \(f(I) = \left] {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x)} \right[\).

• Si \(I = \left] { - \infty , + \infty } \right[\)et \(f\) continue et strictement croissante , alors \(f(I) = \left] {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)} \right[\).
• Si \(I = \left] { - \infty , + \infty } \right[\) et \(f\) continue et strictement décroissante , alors \(f(I) = \left] {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)} \right[\)

c) Théorème des valeurs intermédiaires

si \(f\) est continue sur \(\left[ {a,b} \right]\) alors pour tout reel \(\lambda \) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe un \(c \in \left] {a,b} \right[\) tel que \(f(c) = \lambda \).

Conséquences du théorème des valeurs intermédiaires.
Si \(f\) est continue sur \(\left[ {a,b} \right]\) et \(f(a) \times f(b) \prec 0\), alors il existe \(c \in \left] {a,b} \right[\) tel que \(f(c) = 0\)

Remarque :
Si \(f\) est strictement monotone, alors l’équation \(f(x) = \lambda \) admet une solution unique.

II.2 Composée de deux fonctions continues

Si \(f\) est continue en \({x_0}\) et g est continue en \(f({x_0})\) alors \(g \circ f(x)\) est continue en \({x_0}\).
Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\) et g continue sur un intervalle \(J\) tel que \(f(I) \subset J\), alors \(g \circ f\) est continue sur \(I\).

Conséquences :
Si \(f\) est continue sue \(I\) et pour tout \(x \in I\), \(f(x) \ge 0\), alors \(\sqrt {f(x)} \) est continue sur \(I\).

III. Conclusion

Comment déterminer la limite d’une fonction ?
Réponse :
On peut procéder dans l’ordre suivant :
a) Utiliser les règles opératoires concernant la somme, le produit, le quotient, le théorème des fonctions composées, ainsi que les théorèmes relatifs aux fonctions polynomiales ou rationnelles à l’infini, ou encore les limites trigonométriques usuelles.
Si l’expression de \(f\) reste indéterminée, on cherche alors à transformer l’écriture en factorisant ou en simplifiant.
En présence de racines carrées, on peut utiliser l’expression conjuguée.
Lorsque l’on obtient la forme \(\frac{0}{0}\), on peut recourir au nombre dérivé.
On peut également utiliser les théorèmes de comparaison.
Comment justifier qu’une équation \(f(x) = k\) admet au moins une solution sur \(\left[ {a,b} \right]\) ?
Réponse :
On peut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
Si \(f\) est strictement monotone, la solution est unique.