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En mathématiques, une fonction rationnelle est un rapport de fonctions polynomiales à valeurs dans un ensemble \(\mathbb{R}\).
Soient \(P\) et \(Q\) deux fonctions polynomiales et \(Q\) une fonction non nulle, la fonction \(f(x) = \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}\) est rationnelle. Il existe un polynôme \(A\left( x \right)\) et un polynôme \(R\left( x \right)\) tels que \(\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} = A\left( x \right)\) \( + \frac{{R\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\) avec \(\deg R\left( x \right)\) \( \prec \deg Q\).
Toute fonction rationnelle peut être mise sous forme rationnelle.

Exemple :
\(\frac{{{x^2} - 3x + 5}}{{x - 1}} = \) \(x - 2 + \frac{3}{{x - 1}}\)

Si le \(\deg P\left( x \right)\) est inférieur à \(\deg Q\left( x \right)\), on dit alors que la fraction est régulière et dans le cas contraire on dit qu'elle est irrégulière.
Si la fraction est irrégulière, en divisant le numérateur par le dénominateur (suivant la règle de division des polynômes), on peut représenter la fraction initiale comme la somme d'un polynôme et d'une fraction régulière
Les fractions rationnelles régulières du type :
I : \(\frac{A}{{x - a}}\);
II : \(\frac{A}{{{{\left( {x - a} \right)}^k}}}\) avec \(k \in \mathbb{N}\) et \(k \ge 2\) ;
III : \(\frac{{Ax + B}}{{\left( {{x^{2}} + px + q} \right)}}\) avec les racines du dénominateur complexes, c'est-à-dire que \(\frac{{{p^2}}}{4} - q \prec 0\)
IV : \(\frac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^k}}}\) (avec \(k \in \mathbb{N}\) et \(k \ge 2\) et les racines du dénominateur complexes).où \(A\), \(B\) et \(a\) sont des constances.
C’est fractions rationnelles sont appelées respectivement éléments simples des types I, II, III et IV dont leur intégration ne présente pas de grandes difficultés.

I. Intégration de l’élément simple de type I

\(I = \int {\frac{A}{{x - a}}} dx\) \( = ALog\left| {x - a} \right|\) \( + cte\)

II. Intégration de l’élément simple de type II

\(I = \) \(\int {\frac{A}{{{{\left( {x - a} \right)}^k}}}} dx = \) \(A\int {{{\left( {x - a} \right)}^{ - k}}dx} \) \( = A\frac{{{{\left( {x - a} \right)}^{ - k + 1}}}}{{ - k + 1}}\) \( + cte = \) \(\frac{A}{{(1 - k){{\left( {x - a} \right)}^{k - 1}}}}\) \( + cte\)

II. Intégration de l’élément simple de type III

\(I = \) \(\int {\frac{{Ax + B}}{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}}} \) \(dx\)
\(I = \) \(\int {\frac{{\frac{A}{2}(2x + p) + \left( {B - \frac{{Ap}}{2}} \right)}}{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}}} \) \(dx = \frac{A}{2}\) \(\int {\frac{{(2x + p)}}{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}}} \) \(dx + \) \(\left( {B - \frac{{Ap}}{2}} \right)\) \(\int {\frac{{dx}}{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}}} \)
a) \(\int {\frac{{(2x + p)}}{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}}} \) \(dx = \) \(Log\left| {{x^2} + px + q} \right|\)
b) \(\int {\frac{{dx}}{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}}} \) \( = \) \(\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + \frac{p}{2}} \right)}^2} + \left( {q - \frac{{{p^2}}}{4}} \right)}}} \)
Qui est de la forme \(\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + {a^2}}}} \) confère
\(I = \frac{A}{2}Log\) \(\left| {{x^2} + px + q} \right| + \) \(\frac{{2B - Ap}}{{\sqrt {4q - {p^2}} }}\) \(\arctan \frac{{2x + p}}{{\sqrt {4q - {p^2}} }}\) \( + cte\)

III. Intégration de l’élément simple de type III

L'intégration des éléments simples du type IV est liée à des calculs plus compliqués. Soit à calculer une intégrale : \(I = \) \(\int {\frac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^k}}}} \) \(dx\)
\(I = \) \(\int {\frac{{\frac{A}{2}(2x + p) + \left( {B - \frac{{Ap}}{2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^k}}}} \) \(dx = \frac{A}{2}\) \(\int {\frac{{(2x + p)}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^k}}}} \) \(dx + \) \(\left( {B - \frac{{Ap}}{2}} \right)\) \(\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^k}}}} \)
a) \(\int {\frac{{(2x + p)}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^k}}}} dx\) \( = \frac{1}{{(1 - k)}}\) \(\frac{1}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^{k - 1}}}}\)
Ceci en posant \(t = {x^2} + \) \(px + q \Rightarrow \) \(dt = (2x\) \( + p)dx\)
b) \(\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^k}}}} \) \( = \) \(\int {\frac{{dx}}{{{{\left[ {{{\left( {x + \frac{p}{2}} \right)}^2} + \left( {q - \frac{{{p^2}}}{4}} \right)} \right]}^k}}}} \)
Posons \(t = x + \frac{p}{2}\) \( \Rightarrow dt = dx\) et \({m^2} = q\) \( - \frac{{{p^2}}}{4}\), ainsi :
\(\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^k}}}} \) \( = \int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} \) \( = \frac{1}{{{m^2}}}\) \(\int {\frac{{\left( {\left( {{t^2} + {m^2}} \right) - {t^2}} \right)dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} \)
\(\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} \) \( = \frac{1}{{{m^2}}}\) \(\int {\frac{{\left( {\left( {{t^2} + {m^2}} \right) - {t^2}} \right)dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} \) \( = \frac{1}{{{m^2}}}\) \((\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}}} \) \( + \int {\frac{{{t^2}dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} )\)
\(H = \) \(\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}}} \)
\(D = \) \(\int {\frac{{{t^2}dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} \)
En intégrant (D) par parties, on obtient
\(D = - \) \(\frac{1}{{2(k - 1)}}\) \(\frac{t}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}}\) \( + \int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}}} \)

\({I_k} = \) \(\frac{t}{{2{m^2}(k - 1)}}\) \(\frac{1}{{{{({t^2} + {m^2})}^{k - 1}}}}\) \( + \frac{{2k - 3}}{{2{m^2}(k - 1}}\) \(\int {\frac{{dt}}{{{{({t^2} + {m^2})}^{k - 1}}}}} \)

L'intégrale qui figure dans le second membre est du même type que \({I_k}\) à cette différence que le degré du dénominateur de la fonction à intégrer est inférieur d'une unité (\(k - 1\) ); nous avons donc exprimé \({I_k}\) en fonction de \({I_{k - 1}}\)
En appliquant successivement ce procédé, on arrive à l'intégrale connue
\({I_1} = \) \(\int {\frac{{dt}}{{({t^2} + {m^2})}}} \) \( = \frac{1}{m}\) \(\arctan \frac{t}{m}\) \( + cte\)
En remplaçant ensuite \(t\) et \(m\) par leurs expressions correspondantes en fonction de \(m\), on obtient l'expression de l'intégrale IV en fonction de \(x\), \(A\), \(B\), \(p\) et \(q\).