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I. Intégrale de type \(\int {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}} \)

Pour ce cas, il convient de mettre le dénominateur sous la forme canonique, en effet :
\(a{x^2} + bx\) \( + c = a\) \(\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} \pm {k^2}} \right]\) avec \( \pm {k^2} = \frac{c}{a} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\)
On prendra le signe plus ou le signe moins suivant que le signe du premier membre de la relation précédente est positif ou négatif, c'est-à-dire suivant que les racines du trinôme \(a{x^2} + bx + c\) sont complexes ou réelles.
\(\int {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}} \) \( = \frac{1}{a}\) \(\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} \pm {k^2}}}} \)
En posant \({t = x + \frac{b}{{2a}}}\), on a \({dt = dx}\) et l’intégrale devient :
\(\int {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}} \) \( = \frac{1}{a}\int {\frac{{dt}}{{{t^2} \pm {k^2}}}} \)
Pour la primitive, se rapporter au tableau usuel des primitives

II. Intégrale de type \(\int {\frac{{Ax + B}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx\)

Il nous revient de transformer cette intégrale ainsi :
\(\int {\frac{{Ax + B}}{{a{x^2} + bx + c}}} \) \(dx = \) \(\int {\frac{{\frac{A}{{2a}}(2ax + b) + (B - \frac{{Ab}}{{2a}})}}{{a{x^2} + bx + c}}} \) \(dx = \frac{A}{{2a}}\) \(\int {\frac{{(2ax + b)}}{{a{x^2} + bx + c}}} \) \(dx + (B - \frac{{Ab}}{{2a}})\) \(\int {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}} \)
\(\int {\frac{{(2ax + b)}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx\) \( = Log\left| {a{x^2} + bx + c} \right|\) \( + cte\)
Pour \(\int {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}} \) confère première partie

III. Intégrale de type \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {a{x^2} + bx + c} }}} \)

A l'aide du changement de variable indiqué en I , on ramène cette intégrale suivant le signe de \(a\) :
• Soit à une intégrale du type \(\int {\frac{{dt}}{{\sqrt {{t^2} \pm {k^2}} }}} \) dans le cas où \(a \succ 0\) ;
• Soit à une intégrale du type \(\int {\frac{{dt}}{{\sqrt {{t^2} - {k^2}} }}} \) dans le cas où \(a \prec 0\);

IV. Intégrale de type \(\int {\frac{{(Ax + B)}}{{\sqrt {a{x^2} + bx + c} }}dx} \)

\(\int {\frac{{\left( {Ax + B} \right)dx}}{{\sqrt {a{x^2} + bx + c} }}} \) \( = \) \(\int {\frac{{\frac{A}{{2a}}(2ax + b) + \left( {B - \frac{{Ab}}{{2a}}} \right)}}{{\sqrt {a{x^2} + bx + c} }}dx} \) \( = \frac{A}{{2a}}\) \(\int {\frac{{(2ax + b)}}{{\sqrt {a{x^2} + bx + c} }}dx} \) \( + \left( {B - \frac{{Ab}}{{2a}}} \right)\) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {a{x^2} + bx + c} }}dx} \)
En posant, \({t = a{x^2} + bx + c}\), on
\(\int {\frac{{(2ax + b)}}{{\sqrt {a{x^2} + bx + c} }}dx} \) \( = \int {\frac{{dt}}{{\sqrt t }}} = 2\sqrt t = \) \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} + cte\)

Pour les intégrales de la forme \(I = \int {\frac{{dx}}{{P\sqrt Q }}} \)
Il suffit de poser \(P = \frac{1}{u}\) avec \(u\) la nouvelle variable (voir exercice V)