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I. Théorème relatif aux racines de la dérivée (théorème de Rolle)

Énoncé : Si la fonction \(f(x)\) est continue sur le segment \(\left[ {a,b} \right]\), dérivable en tout point intérieur de ce segment et s'annule aux extrémités : \(f(a) = \) \(f(b) = 0\), alors il existe au moins un point intermédiaire \(x = c\), \(a \prec c \prec b\), où la dérivée \(f'(x)\) s'annule, c'est-à-dire \(f'(c) = 0\).

Le théorème de Rolle admet une interprétation géométrique simple :
si une courbe continue ayant une tangente en chaque point coupe l'axe Ox aux points d'abscisses a et b, il existe sur cette courbe au moins un point d'abscisse \(c\), \(a \prec c \prec b\) , tel que la tangente en ce point est parallèle à l'axe Ox.

Remarques :
Remarque 1. Le théorème reste valable pour une fonction dérivable qui ne s'annule pas aux extrémités du segment [a, b], mais prend en ces points des valeurs égales \(f(a) = f(b)\) .
theoreme rolleRemarque 2. Si \(f'(x)\) est une fonction telle que sa dérivée n'existe pas en certains points de l'intervalle ouvert \(\left( {a;b} \right)\), alors le théorème peut cesser d'être vrai (c'est-à-dire que dans ce cas il peut ne pas exister sur l'intervalle fermé\(\left[ {a;b} \right]\) un point intermédiaire c où la dérivée \(f'(x)\) s'annule).

II. Théorème des accroissements finis (théorème de Lagrange)

Énoncé : Si la fonction \(f(x)\) est continue sur le segment \(\left[ {a;b} \right]\) et dérivable en tout point intérieur de ce segment, il existe alors au moins un point \(c\), \(a \prec c \prec b\), tel que \(f(b) - f(a)\) \( = f'(c)(b - a)\)

III. Théorème de Cauchy (rapport des accroissements de deux fonctions)

Énoncé : Soient \(f(x)\) et \(\varphi (x)\) deux fonctions continues sur le segment \(\left[ {a;b} \right]\), dérivables dans \(\left( {a;b} \right)\) et soit \(\varphi (x)\) telle que \(\varphi '(x)\) ne s‘annule en aucun point de \(\left( {a;b} \right)\); il existe alors un point \(x = c\) à l'intérieur de \(\left[ {a;b} \right]\), avec \(a \prec c \prec b\), tel que :
\(\frac{{f(b) - f(a)}}{{\varphi (b) - \varphi (a)}}\) \( = \frac{{f'(c)}}{{\varphi '(c)}}\)

IV. Théorème (règle de L'Hôpital)

Énoncé : si \(f\) et \(\varphi \) sont deux fonctions définies sur \(\left[ {a,b} \right[\), dérivables en \(a\) telles que \(f(a) = \varphi (a)\) \( = 0\) et \(\varphi '(a) \ne 0\) alors :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{{f(x)}}{{\varphi (x)}}\) \( = \frac{{f'(a)}}{{\varphi '(a)}}\)
NB : La règle n'est utilisable qu'en cas d'indétermination.