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Soient $$a \in \mathbb{R}$$, $$b \in \mathbb{R}$$, $$c \in \mathbb{R}$$ et $$n \in \mathbb{N}$$

#### Quelques identités remarquables

1. $${a^2} - {b^2} =$$ $$\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)$$

2. $${a^3} - {b^3} =$$ $$\left( {a - b} \right)$$ $$\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)$$

3. $${a^3} + {b^3} =$$ $$\left( {a + b} \right)$$ $$\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$$

4. $${a^4} - {b^4} =$$ $$\left( {{a^2} - {b^2}} \right)$$ $$\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$$ $$= \left( {a - b} \right)$$ $$\left( {a + b} \right)$$ $$\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$$

5. $${a^5} - {b^5} =$$ $$\left( {a - b} \right)$$ $$({a^4} + {a^3}b + {a^2}{b^2}$$ $$+ a{b^3} + {b^4})$$

6. $${a^5} + {b^5} =$$ $$\left( {a + b} \right)$$ $$({a^4} - {a^3}b + {a^2}{b^2}$$ $$- a{b^3} + {b^4})$$

De manière générale, nous avons :

Si $$n$$ est pair :
7. $${a^n} - {b^n} =$$ $$\left( {a + b} \right)$$ $$({a^{n - 1}} - {a^{n - 2}}b +$$ $$... + {( - 1)^p}{a^{n - p - 1}}{b^p}$$ $$+ ... - {b^{n - 1}})$$
$${a^n} - {b^n} =$$ $$\left( {a - b} \right)$$ $$({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b$$ $$+ {a^{n - 3}}{b^2} + ... +$$ $$a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})$$

Si $$n$$ est impair :
8. $${a^n} + {b^n} =$$ $$\left( {a + b} \right)$$ $$({a^{n - 1}} - {a^{n - 2}}b + ...$$ $$+ {( - 1)^p}{a^{n - p - 1}}{b^p}$$ $$+ ... + {b^{n - 1}})$$
$${a^n} + {b^n} =$$ $$\left( {a + b} \right)$$ $$({a^{n - 1}} - {a^{n - 2}}b +$$ $${a^{n - 3}}{b^2} - ... -$$ $$a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})$$