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I Limite en l’infini des fonctions polynômes et rationnelles

Exercice I

1. Calculer les limites en \( - \infty \) et \( + \infty \) de la fonction polynôme :
• \(f(x) = 5{x^3} - \) \(x + 1\)
• \(g(x) = 1 - 2{x^2}\) \( + 3x\)
2. Calculer les limites en \( - \infty \) et \( + \infty \) de la fonction rationnelle suivante :
\(f(x) = \) \(\frac{{7{x^5} - 4{x^3} + 1}}{{{x^2} - x + 6}}\)
\(g(x) = \) \(\frac{{ - 3x + 4{x^3} + {x^2} - 1}}{{{x^2} - 1 + x}}\)

II Limite au bornes du domaine de définition des fonctions polynômes et rationnelles

Exercice II

1. Calculer les limites en \( - \infty \) et \( + \infty \) de la fonction polynôme :
• \(f(x) = 5{x^3} - \) \(x + 1\)
• \(g(x) = 1 - 2{x^2}\) \( + 3x\)
2. Calculer les limites de la fonction suivante aux bornes de son domaine de définition
• \(f(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)
• \(g(x) = \) \(\frac{{{x^2} - x + 1}}{{2{x^2} + 1}}\)

III. Limite d’une fonction composée

Exercice III

1. Calculer la limite suivante :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \frac{3}{2}} \frac{{\sin (2x + 3)}}{{2x + 3}}\)
2. Soient \(f(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\), calculer \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\) et en déduire \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f \circ f(x)\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f \circ f(x)\)
3. Calculer la limite de \(h(x) = x\sin \frac{1}{x}\) en \( + \infty \)

IV Théorème de comparaison

Exercice IV

1. Calculer les limites en \( - \infty \) et \( + \infty \) de la fonction \(f(x) = 2x + \) \(1 - 3\sin x\)
En utilisant les propriétés de comparaison, calculer les limites en et des fonctions suivantes :
a) \(f(x) = - 4x + 3\) \( - \cos x\) ;
b) \(g(x) = \) \(\frac{{x\sin x}}{{{x^2} + 1}}\) ;
c) \(t(x) = {x^2}\) \( + 2\sin x\) ;
d) \(u(x) = \) \({x^3}(2 + \cos x)\).

V. Théorème des gendarmes

Exercice V

1. Calculer la limite en 0 de la fonction \(g(x) = xE\left( {\frac{1}{x}} \right)\) où E désigne la fonction partie entière.
2. Calculer la limite suivante : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \sin x}}{{x + 1}}\)

VI. Forme indéterminée

Exercice VI

1. Calculer la limite en 0 de la fonction \(f(x) = \frac{{\sin 2x}}{{\sin 5x}}\)
2. Calculer la limite en \(\frac{\pi }{4}\) de la fonction \(f(x) = \) \(\frac{{\sin x - \cos x}}{{x - \frac{\pi }{4}}}\)
3. Calculer la limite en 1 de la fonction \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 1}}\)

VII. Théorème de l’Hôpital

Exercice VII

1. Calculer la limite de la fonction : \(h(x) = \) \(\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}\) ;
2. Calculer la limite de la fonction \(h(x) = \) \( = \frac{{\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}}}{{{x^2} - 5x + 4}}\)